VON TORSTEN SCHWANKE
PRÄHISTORISCHE MATHEMATIK
Unsere prähistorischen Vorfahren hätten eine allgemeine Sensibilität für Mengen gehabt und instinktiv den Unterschied zwischen, sagen wir, einer und zwei Antilopen erkannt. Aber der intellektuelle Sprung von der konkreten Idee von zwei Dingen zur Erfindung eines Symbols oder Wortes für die abstrakte Idee von „zwei“ dauerte viele Jahrhunderte.
Noch heute gibt es in Amazonien vereinzelte Jäger-Sammler-Stämme, die nur Wörter für „eins“, „zwei“ und „viele“ haben, und andere, die nur Wörter für Zahlen bis fünf haben. Mangels sesshafter Landwirtschaft und Handel besteht kaum Bedarf für ein formelles Zahlensystem.
Der frühe Mensch verfolgte regelmäßige Ereignisse wie die Mondphasen und die Jahreszeiten. Einige der allerersten Beweise dafür, dass die Menschheit über Zahlen nachdenkt, stammen von gekerbten Knochen in Afrika, die auf die Zeit vor 35.000 bis 20.000 Jahren zurückgehen. Aber das ist wirklich nur Zählen und nicht Mathematik als solche.
Prädynastische Ägypter und Sumerer stellten bereits im 5. Jahrtausend v. Chr. geometrische Muster auf ihren Artefakten dar, ebenso wie einige megalithische Gesellschaften in Nordeuropa im 3. Jahrtausend v. Chr. oder davor. Aber das ist mehr Kunst und Dekoration als die systematische Behandlung von Zahlen, Mustern, Formen und Mengen, die mittlerweile als Mathematik gilt.
Die eigentliche Mathematik entwickelte sich ursprünglich weitgehend als Reaktion auf bürokratische Bedürfnisse, als sich Zivilisationen niederließen und die Landwirtschaft entwickelten – für die Vermessung von Grundstücken, die Besteuerung von Einzelpersonen usw. – und dies geschah zuerst in den sumerischen und babylonischen Zivilisationen Mesopotamiens (ungefähr moderner Irak) und im alten Ägypten.
Nach Angaben einiger Behörden gibt es Hinweise auf grundlegende arithmetische und geometrische Notationen auf den Petroglyphen in den Grabhügeln von Knowth und Newgrange in Irland (um 3500 v. Chr. bzw. 3200 v. Chr.). Diese verwenden eine wiederholte Zick-Zack-Glyphe zum Zählen, ein System, das in Großbritannien und Irland bis ins 1. Jahrtausend v. Chr. verwendet wurde.
Stonehenge war ein zeremonielles und astronomisches Denkmal aus der Jungsteinzeit in England, das um 2300 v Chr. errichtet wurde
SUMERISCH-BABYLONISCHE MATHEMATIK
Sumer (eine Region in Mesopotamien, dem heutigen Irak) war der Geburtsort der Schrift, des Rades, der Landwirtschaft, des Bogens, des Pflugs, der Bewässerung und vieler anderer Innovationen und wird oft als Wiege der Zivilisation bezeichnet. Die Sumerer entwickelten das früheste bekannte Schriftsystem – ein piktografisches Schriftsystem, das als Keilschrift bekannt ist und keilförmige Zeichen verwendet, die auf gebrannten Tontafeln geschrieben sind – und dies bedeutet, dass wir tatsächlich mehr über die altsumerische und babylonische Mathematik wissen als über die frühägyptische Mathematik. Ja, wir haben sogar schulähnliche Übungen zu arithmetischen und geometrischen Problemen.
Wie in Ägypten entwickelte sich die sumerische Mathematik zunächst weitgehend als Reaktion auf bürokratische Bedürfnisse, als sich ihre Zivilisation niederließ und die Landwirtschaft entwickelte (möglicherweise bereits im 6. Jahrtausend v. Chr.) für die Vermessung von Grundstücken, die Besteuerung von Einzelpersonen usw. Darüber hinaus mussten die Sumerer und Babylonier ziemlich große Zahlen beschreiben, als sie versuchten, den Verlauf des Nachthimmels zu kartieren und ihren ausgeklügelten Mondkalender zu entwickeln.
Sie waren vielleicht die ersten Menschen, die Objektgruppen Symbole zuordneten, um die Beschreibung größerer Zahlen zu erleichtern. Sie gingen von der Verwendung separater Zeichen oder Symbole zur Darstellung von Weizengarben, Ölkrügen usw. zu der abstrakteren Verwendung eines Symbols für bestimmte Zahlen von irgendetwas über.
Bereits im 4. Jahrtausend v. Chr. begannen sie, einen kleinen Tonkegel zu verwenden, um eins darzustellen, eine Tonkugel für zehn und einen großen Kegel für sechzig. Im Laufe des dritten Jahrtausends wurden diese Objekte durch keilschriftliche Äquivalente ersetzt, damit Zahlen mit demselben Stift geschrieben werden konnten, der für die Wörter im Text verwendet wurde. Ein rudimentäres Modell des Abakus wurde in Sumer wahrscheinlich schon von 2700 bis 2300 v. Chr. verwendet.
Die sumerische und babylonische Mathematik basierte auf einem Sexegesimal- oder Basis-60-Zahlensystem, das physikalisch mit den zwölf Fingerknöcheln auf der einen und fünf Fingern auf der anderen Hand gezählt werden konnte. Im Gegensatz zu denen der Ägypter, Griechen und Römer verwendeten babylonische Zahlen ein echtes Stellenwertsystem, bei dem die in der linken Spalte geschriebenen Ziffern größere Werte darstellten, ähnlich wie im modernen Dezimalsystem, obwohl natürlich die Basis 60 und nicht die Basis 10 verwendet wurde. Die Babylonische Einheit im babylonischen System repräsentierten 3.600 plus 60 plus 1 oder 3.661. Außerdem wurden zur Darstellung der Zahlen 1 – 59 innerhalb jedes Stellenwerts zwei unterschiedliche Symbole verwendet, ein Einheitssymbol (Babylonische Einheit) und ein Zehnersymbol (Babylonische Zehn), die auf ähnliche Weise wie das bekannte System römischer Zahlen kombiniert wurden (z. B. würde 23 als dreiundzwanzig angezeigt). Daher siellt die dreiundzwanzig 60 plus 23 oder 83 dar. Die Zahl 60 wurde jedoch durch dasselbe Symbol wie die Zahl 1 dargestellt, und da ihnen ein Äquivalent zum Dezimalpunkt fehlte, musste der tatsächliche Stellenwert eines Symbols häufig aus dem Kontext abgeleitet werden.
Es wurde vermutet, dass die babylonischen Fortschritte in der Mathematik wahrscheinlich durch die Tatsache erleichtert wurden, dass 60 viele Teiler hat (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60 – tatsächlich ist 60 die kleinste ganze Zahl, die durch alle ganzen Zahlen von 1 bis 6 teilbar ist), und die fortgesetzte moderne Verwendung von 60 Sekunden in einer Minute, 60 Minuten in einer Stunde und 360 (60 x 6) Grad in einem Kreis, sind alles Beweise für das altbabylonische System. Aus ähnlichen Gründen war 12 (mit den Faktoren 1, 2, 3, 4 und 6) in der Vergangenheit ein so beliebtes Vielfaches (z. B. 12 Monate, 12 Zoll, 2 x 12 Stunden usw.).
Die Babylonier entwickelten auch ein anderes revolutionäres mathematisches Konzept, etwas anderes, das die Ägypter, Griechen und Römer nicht hatten, ein Kreiszeichen für Null, obwohl sein Symbol eigentlich immer noch eher ein Platzhalter als eine eigene Zahl war.
Wir haben Beweise für die Entwicklung eines komplexen Metrologiesystems in Sumer ab etwa 3000 v. Chr. Und Multiplikations- und Reziprok-(Divisions-)Tabellen, Tabellen von Quadraten, Quadratwurzeln und Kubikwurzeln, geometrische Übungen und Divisionsprobleme ab etwa 2600 v. Chr. Spätere babylonische Tafeln von etwa 1800 bis 1600 v. Chr. behandeln so unterschiedliche Themen wie Brüche, Algebra, Methoden zum Lösen linearer, quadratischer und sogar einiger kubischer Gleichungen und die Berechnung regelmäßiger reziproker Paare (Zahlenpaare, die sich zu 60 multiplizieren). Eine babylonische Tafel gibt eine Annäherung an √2 an, die auf erstaunliche fünf Dezimalstellen genau ist. Andere listen die Zahlenquadrate bis 59, die Würfelzahlen bis 32 sowie Zinseszinstabellen auf. Noch ein anderer gibt eine Schätzung für π von 3 1 ⁄ 8 (3,125, eine vernünftige Annäherung an den realen Wert von 3,1416).
Babylonische Tontafeln von c. 2100 v. Chr. zeigen ein Problem bezüglich des Bereichs einer unregelmäßigen Form.
Die Idee der Quadratzahlen und quadratischen Gleichungen (bei denen die unbekannte Größe mit sich selbst multipliziert wird, z. B x 2 ) entstand natürlich im Zusammenhang mit der Landvermessung, und babylonische mathematische Tafeln geben uns den ersten Beweis für die Lösung quadratischer Gleichungen. Der babylonische Ansatz, sie zu lösen, drehte sich normalerweise um eine Art geometrisches Spiel, bei dem Formen in Scheiben geschnitten und neu angeordnet wurden, obwohl auch die Verwendung von Algebra und quadratischen Gleichungen vorkommt. Zumindest einige der Beispiele, die uns vorliegen, scheinen auf eine Problemlösung um ihrer selbst willen hinzudeuten, anstatt ein konkretes praktisches Problem zu lösen.
Die Babylonier verwendeten geometrische Formen in ihren Gebäuden und Designs sowie in Würfeln für die Freizeitspiele, die in ihrer Gesellschaft so beliebt waren, wie das antike Backgammon-Spiel. Ihre Geometrie erstreckte sich auf die Berechnung der Flächen von Rechtecken, Dreiecken und Trapezen sowie der Volumen einfacher Formen wie Ziegel und Zylinder (jedoch keine Pyramiden).
Die berühmte und umstrittene Plimpton 322-Tontafel, von der angenommen wird, dass sie aus der Zeit um 1800 v Chr. stammt, existierte also viele Jahrhunderte vor dem griechischen Pythagoras. Die Tafel scheint 15 perfekte pythagoreische Dreiecke mit ganzzahligen Seiten aufzulisten, obwohl einige behaupten, dass es sich lediglich um akademische Übungen und nicht um absichtliche Manifestationen pythagoreischer Dreiecke handelte.
*
ÄGYPTISCHE MATHEMATIK
Die frühen Ägypter ließen sich bereits um 6000 v. Chr. entlang des fruchtbaren Niltals nieder und begannen, die Muster der Mondphasen und der Jahreszeiten aufzuzeichnen, sowohl aus landwirtschaftlichen als auch aus religiösen Gründen.
Die Landvermesser des Pharaos verwendeten schon sehr früh in der ägyptischen Geschichte Messungen auf der Grundlage von Körperteilen (eine Handfläche war die Breite der Hand, eine Elle das Maß vom Ellbogen bis zu den Fingerspitzen), um Land und Gebäude zu messen, und ein dezimales numerisches System wurde auf der Grundlage der zehn Finger entwickelt. Der älteste bisher entdeckte mathematische Text aus dem alten Ägypten ist jedoch der Moskauer Papyrus, der aus dem ägyptischen Mittelreich um 2000 – 1800 v. Chr. stammt.
Es wird angenommen, dass die Ägypter das früheste vollständig entwickelte Zahlensystem zur Basis 10 mindestens bereits 2700 v. Chr. (und wahrscheinlich viel früher) eingeführt haben. Geschriebene Zahlen verwendeten einen Strich für Einheiten, ein Fersenbeinsymbol für Zehner, eine Seilrolle für Hunderter und eine Lotuspflanze für Tausende sowie andere Hieroglyphensymbole für höhere Zehnerpotenzen bis zu einer Million. Es gab jedoch kein Konzept für den Stellenwert, daher waren größere Zahlen ziemlich unhandlich (obwohl eine Million nur ein Zeichen erforderte, eine Million minus eins vierundfünfzig Zeichen).
Der Rhind-Papyrus aus der Zeit um 1650 v. Chr. ist eine Art Lehrbuch für Arithmetik und Geometrie und zeigt uns anschaulich, wie damals multipliziert und dividiert wurde. Es enthält auch Beweise für andere mathematische Kenntnisse, einschließlich Einheitsbrüche, zusammengesetzte und Primzahlen, arithmetische, geometrische und harmonische Mittel und wie man lineare Gleichungen erster Ordnung sowie arithmetische und geometrische Reihen löst. Der Berliner Papyrus aus der Zeit um 1300 v. Chr. zeigt, dass die alten Ägypter algebraische (quadratische) Gleichungen zweiter Ordnung lösen konnten.
Die Multiplikation zum Beispiel wurde durch einen Vorgang des wiederholten Verdoppelns der zu multiplizierenden Zahl auf der einen Seite und anderen Seite erreicht, im Wesentlichen eine Art Multiplikation binärer Faktoren, ähnlich der, die von modernen Computern verwendet wird. Diese entsprechenden Zählerblöcke könnten dann als eine Art Multiplikations-Referenztabelle verwendet werden: Zuerst wurde die Kombination von Zweierpotenzen, die sich zu der zu multiplizierenden Zahl ergeben, isoliert, und dann ergaben sich die entsprechenden Zählerblöcke auf der anderen Seite die Antwort. Dadurch wurde das Konzept der Binärzahlen effektiv genutzt, über 3.000 Jahre bevor Leibniz es im Westen einführte, und viele weitere Jahre, bevor die Entwicklung des Computers sein Potenzial voll ausschöpfen sollte.
Praktische Probleme des Handels und des Marktes führten zur Entwicklung einer Notation für Brüche. Die uns überlieferten Papyri demonstrieren die Verwendung von Einheitsbrüchen basierend auf dem Symbol des Auges des Horus, wobei jeder Teil des Auges einen anderen Bruch darstellt, jede Hälfte des vorherigen (d.h. Hälfte, Viertel, Achtel, Sechzehntel, Zweiunddreißigstel, Vierundsechzigstel), so dass die Summe ein Vierundsechzigstel weniger als eine ganze Zahl war, das erste bekannte Beispiel einer geometrischen Reihe.
Einheitsbrüche könnten auch für einfache Divisionssummen verwendet werden. Wenn sie beispielsweise 3 Brote auf 5 Personen aufteilen mussten, teilten sie zuerst zwei der Brote in Drittel und das dritte Brot in Fünftel, dann teilten sie das übrig gebliebene Drittel des zweiten Brotes in fünf Stücke. Somit würde jede Person ein Drittel plus ein Fünftel plus ein Fünfzehntel erhalten (was erwartungsgemäß drei Fünftel ergibt).
Die Ägypter näherten dich der Fläche eines Kreises an, indem sie Formen verwendeten, deren Fläche sie kannten. Sie beobachteten, dass beispielsweise die Fläche eines Kreises mit einem Durchmesser von 9 Einheiten sehr nahe an der Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 8 Einheiten lag. Dies ergibt eine effektive Annäherung an π mit einer Genauigkeit von weniger als einem Prozent.
Die Pyramiden selbst sind ein weiterer Hinweis auf die Raffinesse der ägyptischen Mathematik. Abgesehen von Behauptungen, dass die Pyramiden die ersten bekannten Strukturen waren, die den Goldenen Schnitt von 1: 1,618 eingehalten haben (was möglicherweise aus rein ästhetischen und nicht aus mathematischen Gründen aufgetreten ist), gibt es sicherlich Beweise dafür, dass sie die Formel für das Volumen einer Pyramide kannten – 1 ⁄ 3 mal Höhe mal Länge mal Breite – sowie eines Pyramidenstumpfes oder abgeschnittener Pyramiden.
Sie waren sich auch lange vor Pythagoras der Regel bewusst, dass ein Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 Einheiten einen perfekten rechten Winkel ergibt, und ägyptische Baumeister verwendeten Seile, die in Abständen von 3, 4 und 5 Einheiten verknotet waren, um eine exakte Ausrichtung sicherzustellen Winkel für ihr Mauerwerk (tatsächlich wird das rechtwinklige Dreieck 3-4-5 oft als „ägyptisch“ bezeichnet).
GRIECHISCHE MATHEMATIK & MATHEMATIKER
Als das griechische Reich begann, seinen Einflussbereich nach Kleinasien, Mesopotamien und darüber hinaus auszudehnen, waren die Griechen klug genug, nützliche Elemente aus den von ihnen eroberten Gesellschaften zu übernehmen und anzupassen. Dies galt genauso für ihre Mathematik wie alles andere, und sie übernahmen Elemente der Mathematik sowohl von den Babyloniern als auch von den Ägyptern. Aber sie begannen bald, selbst wichtige Beiträge zu leisten, und zum ersten Mal können wir Beiträge von Einzelpersonen anerkennen. In der hellenistischen Zeit hatten die Griechen eine der dramatischsten und wichtigsten Revolutionen im mathematischen Denken aller Zeiten geleitet.
Das altgriechische Zahlensystem, bekannt als attische oder herodianische Zahlen, war um etwa 450 v. Chr. vollständig entwickelt und wurde möglicherweise schon im 7. Jahrhundert v. Chr. regelmäßig verwendet. Es war ein System zur Basis 10, ähnlich dem früheren ägyptischen (und noch ähnlicher dem späteren römischen System), mit Symbolen für 1, 5, 10, 50, 100, 500 und 1.000, die so oft wiederholt wurden, um die gewünschte Zahl darzustellen. Die Addition erfolgte durch separates Summieren der Symbole (1er, 10er, 100er usw.) in den zu addierenden Zahlen, und die Multiplikation war ein mühsamer Prozess, der auf aufeinanderfolgenden Verdopplungen basierte (die Division basierte auf der Umkehrung dieses Prozesses).
Aber der größte Teil der griechischen Mathematik basierte auf Geometrie. Thales, einer der sieben Weisen des antiken Griechenlands, der in der ersten Hälfte des 6. Jahrhunderts v. Chr. an der ionischen Küste Kleinasiens lebte, wird jedoch allgemein als der erste angesehen, der Richtlinien für die abstrakte Entwicklung der Geometrie festgelegt hat. Was wir über seine Arbeit wissen (etwa über ähnliche und rechtwinklige Dreiecke), erscheint jetzt ziemlich elementar.
Thales stellte den sogenannten Satz von Thales auf, wonach, wenn ein Dreieck innerhalb eines Kreises mit der langen Seite als Durchmesser des Kreises gezeichnet wird, der gegenüberliegende Winkel immer ein rechter Winkel ist (so wie einige andere verwandte Eigenschaften davon abgeleitet werden). Ihm wird auch ein weiteres Theorem zugeschrieben, das auch als Theorem von Thales bekannt ist, über die Verhältnisse der Liniensegmente, die entstehen, wenn zwei sich schneidende Linien durch ein Paar Parallelen geschnitten werden (und im weiteren Sinne die Verhältnisse der Seiten ähnlicher Dreiecke).
Bis zu einem gewissen Grad ist die Legende des Mathematikers Pythagoras von Samos aus dem 6. Jahrhundert v. Chr. zum Synonym für die Geburt der griechischen Mathematik geworden. Tatsächlich wird angenommen, dass er sowohl die Wörter „Philosophie“ („Liebe zur Weisheit“) als auch „ Mathematik “ („das Gelehrte“) geprägt hat. Pythagoras war vielleicht der erste, der erkannte, dass ein vollständiges mathematisches System konstruiert werden konnte, in dem geometrische Elemente mit Zahlen korrespondierten. Der Satz des Pythagoras ist einer der bekanntesten aller mathematischen Theoreme. Aber er bleibt eine umstrittene Figur, wie wir sehen werden, und die griechische Mathematik war keineswegs auf einen Mann beschränkt.
Insbesondere drei geometrische Probleme, die oft als die drei klassischen Probleme bezeichnet werden und alle mit rein geometrischen Mitteln unter Verwendung von nur einer geraden Kante und einem Zirkel zu lösen sind, stammen aus den frühen Tagen der griechischen Geometrie: „die Quadratur des Kreises“, „die Verdopplung des Würfels“ und „die Dreiteilung eines Winkels“. Diese unnachgiebigen Probleme hatten großen Einfluss auf die zukünftige Geometrie und führten zu vielen fruchtbaren Entdeckungen, obwohl ihre tatsächlichen Lösungen (oder, wie sich herausstellte, die Beweise ihrer Unmöglichkeit) bis ins 19. Jahrhundert warten mussten.
Hippokrates von Chios (nicht zu verwechseln mit dem großen griechischen Arzt Hippokrates von Kos) war ein solcher griechischer Mathematiker, der sich diesen Problemen im 5. Jahrhundert v. Chr. widmete (sein Beitrag zum Problem der „Quadratur des Kreises“ ist als Mond des Hippokrates bekannt). Sein einflussreiches Buch „Die Elemente“ aus der Zeit um 440 v. Chr. war die erste Zusammenstellung der Elemente der Geometrie, und sein Werk war eine wichtige Quelle für Euklids späteres Werk.
Es waren die Griechen, die sich zuerst mit der Idee der Unendlichkeit auseinandergesetzt haben, wie sie in den bekannten Paradoxien beschrieben wird, die dem Philosophen Zeno von Elea im 5. Jahrhundert v. Chr. zugeschrieben werden. Das berühmteste seiner Paradoxe ist das von Achilles und der Schildkröte, das einen theoretischen Wettlauf zwischen Achilles und einer Schildkröte beschreibt. Achilles gibt der viel langsameren Schildkröte einen Vorsprung, aber als Achilles den Startpunkt der Schildkröte erreicht, ist die Schildkröte bereits weitergezogen. Wenn Achilles diesen Punkt erreicht, ist die Schildkröte wieder weitergezogen usw. usf., sodass der flinke Achilles die langsame Schildkröte im Prinzip niemals einholen kann.
Paradoxien wie diese und Zenos sogenanntes Dichotomie-Paradoxon basieren auf der unendlichen Teilbarkeit von Raum und Zeit und beruhen auf der Idee, dass ein Halbes plus ein Viertel plus ein Achtel plus ein Sechzehntel usw. niemals unendlich werden gleich einem Ganzen. Das Paradox ergibt sich jedoch aus der falschen Annahme, dass es unmöglich ist, eine unendliche Anzahl diskreter Striche in einer endlichen Zeit zu vervollständigen, obwohl es äußerst schwierig ist, den Irrtum endgültig zu beweisen. Der antike Grieche Aristoteles war der erste von vielen, der versuchte, die Paradoxien zu widerlegen, zumal er fest davon überzeugt war, dass die Unendlichkeit immer nur potenziell und nicht real sein kann.
Demokrit, am bekanntesten für seine vorausschauenden Ideen, dass alle Materie aus winzigen Atomen besteht, war auch ein Pionier der Mathematik und Geometrie im 5. – 4. Jahrhundert v. Chr., und er produzierte Werke mit Titeln wie „Über Zahlen“, „Über Geometrie“, „Über Tangenten“, „über Irrationales“, obwohl diese Werke nicht überliefert sind. Wir wissen, dass er einer der ersten war, der beobachtete, dass ein Kegel (oder eine Pyramide) ein Drittel des Volumens eines Zylinders (oder Prismas) mit derselben Grundfläche und Höhe hat, und er ist vielleicht der erste, der ernsthaft über die Teilung von Objekten in unendlich viele Querschnitte nachgedacht hat.
Es ist jedoch sicherlich richtig, dass insbesondere Pythagoras seine Nachkommen stark beeinflusst hat, darunter Plato, der 387 v. Chr. seine berühmte Akademie in Athen gründete, und sein Schützling Aristoteles, dessen Werk über Logik über zweitausend Jahre lang als maßgeblich galt. Der Mathematiker Platon ist am besten für seine Beschreibung der fünf platonischen Körper bekannt, aber der Wert seiner Arbeit als Lehrer und Popularisierer der Mathematik kann nicht hoch genug eingeschätzt werden.
Platons Schüler Eudoxus von Knidos wird gewöhnlich die erste Implementierung der „Erschöpfungsmethode“ (später von Archimedes entwickelt) zugeschrieben, einer frühen Methode der Integration durch sukzessive Annäherungen, die er für die Berechnung des Volumens der Pyramide und des Kegels verwendete. Er entwickelte auch eine allgemeine Proportionstheorie, die sowohl auf inkommensurable (irrationale) Größen, die nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden können, als auch auf kommensurable (rationale) Größen anwendbar war, und erweiterte damit die unvollständigen Ideen von Pythagoras.
Der vielleicht wichtigste einzelne Beitrag der Griechen – und Pythagoras, Plato und Aristoteles waren alle in dieser Hinsicht einflussreich – war die Idee des Beweises und die deduktive Methode, logische Schritte zu verwenden, um Theoreme von ursprünglich angenommenen Axiomen zu beweisen oder zu widerlegen. Ältere Kulturen, wie die Ägypter und die Babylonier , hatten sich auf induktives Denken verlassen, d.h. wiederholte Beobachtungen verwendet, um Faustregeln aufzustellen. Es ist dieses Beweiskonzept, das der Mathematik ihre Kraft verleiht und sicherstellt, dass bewährte Theorien heute genauso wahr sind wie vor zweitausend Jahren, und das den Grundstein für die systematische Herangehensweise an die Mathematik von Euklid und seinen Nachfolgern legte.
PYTHAGORAS VON SAMOS
Es wird manchmal behauptet, dass wir Pythagoras die reine Mathematik verdanken, und er wird oft als der erste „wahre“ Mathematiker bezeichnet. Aber obwohl sein Beitrag eindeutig wichtig war, bleibt er dennoch eine umstrittene Figur.
Er hat selbst keine mathematischen Schriften hinterlassen, und vieles, was wir über das pythagoreische Denken wissen, stammt aus den Schriften von Philolaus und anderen späteren pythagoreischen Gelehrten. Tatsächlich ist keineswegs klar, ob viele (oder überhaupt einige) der ihm zugeschriebenen Theoreme tatsächlich von Pythagoras persönlich oder von seinen Anhängern gelöst wurden.
Die Schule, die er um 530 v. Chr. in Kroton in Süditalien gründete, war der Kern einer ziemlich bizarren pythagoräischen Sekte. Obwohl das pythagoräische Denken weitgehend von Mathematik dominiert wurde, war es auch zutiefst mystisch, und Pythagoras zwang seine quasi-religiösen Philosophien, seinen strengen Vegetarismus, sein Gemeinschaftsleben, geheime Riten und seltsame Regeln allen Mitgliedern seiner Schule auf (einschließlich bizarrer und scheinbar willkürlicher Erlasse darüber, niemals der Sonne entgegen zu urinieren, niemals eine Frau zu heiraten, die Goldschmuck trägt, niemals an einem auf der Straße liegenden Esel vorbeizugehen, niemals schwarze Ackerbohnen zu essen oder gar anzufassen).
Die Mitglieder teilten sich in die „Mathematikoi“ (oder „Lernende“), die die mathematischen und wissenschaftlichen Arbeiten, die Pythagoras selbst begann, erweiterten und weiterentwickelten, und die „Akousmatikoi“ (oder „Zuhörer“), die sich auf die religiöse und rituelle Aspekte seiner Lehren konzentrierten. Es gab immer ein gewisses Maß an Reibung zwischen den beiden Gruppen, und schließlich geriet die Sekte in heftige lokale Kämpfe und löste sich schließlich auf. Gegen die Geheimhaltung und Exklusivität der Pythagoreer baute sich Ressentiment auf, und 460 v. Chr. wurden alle ihre Versammlungsstätten niedergebrannt und zerstört, wobei allein in Kroton mindestens 50 Mitglieder getötet wurden.
Das übergeordnete Diktum der Schule von Pythagoras war „ Alles ist Zahl“ oder „Gott ist Zahl“. Zum Beispiel war die Zahl Eins der Generator aller Zahlen; zwei vertreten die Meinung; drei die Harmonie; vier die Gerechtigkeit; fünf die Ehe; sechs die Schöpfung; sieben die sieben Planeten oder „Wandersterne“ usw. Ungerade Zahlen wurden als weiblich und gerade Zahlen als männlich angesehen.
Die heiligste Zahl von allen war „Tetractys“ oder Zehn, eine Dreieckszahl, die sich aus der Summe von eins, zwei, drei und vier zusammensetzt. Es ist eine große Anerkennung für die intellektuellen Errungenschaften der Pythagoräer, dass sie die besondere Stellung der Zahl 10 eher aus einem abstrakten mathematischen Argument als aus etwas so Alltäglichem wie dem Zählen der Finger an zwei Händen abgeleitet haben.
Pythagoras und seine Schule – sowie eine Handvoll anderer Mathematiker des antiken Griechenlands – waren jedoch maßgeblich dafür verantwortlich, eine strengere Mathematik einzuführen als zuvor, die auf Grundprinzipien unter Verwendung von Axiomen und Logik aufbaute. Vor Pythagoras zum Beispiel war die Geometrie lediglich eine Sammlung von Regeln, die durch empirische Messung abgeleitet wurden.
Pythagoras entdeckte, dass ein vollständiges mathematisches System konstruiert werden konnte, in dem geometrische Elemente mit Zahlen korrespondierten und in dem ganze Zahlen und ihre Verhältnisse alles waren, was notwendig war, um ein vollständiges System der Logik und Wahrheit zu etablieren.
Man erinnert sich vor allem an das, was als Satz des Pythagoras bekannt geworden ist: dass bei jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse (der längsten Seite gegenüber dem rechten Winkel) gleich ist der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten.
Was Pythagoras und seine Anhänger nicht wussten, ist, dass dies auch für jede Form funktioniert: So ist die Fläche eines Fünfecks auf der Hypotenuse gleich der Summe der Fünfecke auf den anderen beiden Seiten, ebenso wie bei einem Halbkreis oder jeder anderen regelmäßigen (oder sogar unregelmäßigen) Form.
Das einfachste und am häufigsten zitierte Beispiel eines pythagoräischen Dreiecks ist eines mit Seiten von 3, 4 und 5 Einheiten, wie man sehen kann, wenn man wie im Diagramm ein Gitter aus Einheitsquadraten auf jeder Seite zeichnet, aber es gibt eine potenziell unendliche Anzahl anderer ganzzahliger „pythagoräischer Tripel“. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass (6, 8, 10) kein sogenanntes „primitives“ pythagoräisches Tripel ist, da es nur ein Vielfaches von (3, 4 , 5) ist.
Der Satz des Pythagoras und die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke scheinen die älteste und am weitesten verbreitete mathematische Entwicklung nach der Grundrechenart und Geometrie zu sein, und sie wurde in einigen der ältesten mathematischen Texte aus Babylon und Ägypten berührt, die über tausend Jahre alt sind. Einer der einfachsten Beweise stammt aus dem alten China, und stammt wahrscheinlich aus der Zeit vor der Geburt von Pythagoras. Es war jedoch Pythagoras, der dem Satz seine endgültige Form gab, obwohl nicht klar ist, ob Pythagoras ihn selbst endgültig bewiesen oder nur beschrieben hat. Wie auch immer, es ist eines der bekanntesten aller mathematischen Theoreme geworden, und es gibt jetzt bis zu 400 verschiedene Beweise, einige geometrische, einige algebraische, einige mit fortgeschrittenen Differentialgleichungen usw.
Es zeigte sich jedoch bald, dass auch nicht ganzzahlige Lösungen möglich waren, sodass beispielsweise ein gleichschenkliges Dreieck mit den Seiten 1, 1 und √2 auch einen rechten Winkel hat, wie die Babylonier Jahrhunderte zuvor entdeckt hatte. Als Pythagoras' Schüler Hippasus jedoch versuchte, den Wert von √2 zu berechnen, stellte er fest, dass es nicht möglich war, ihn als Bruch auszudrücken, was auf die potenzielle Existenz einer ganz neuen Zahlenwelt hinweist, der irrationalen Zahlen (Zahlen, die nicht als einfache Brüche ganzer Zahlen ausgedrückt werden können). Diese Entdeckung erschütterte die elegante mathematische Welt, die von Pythagoras und seinen Anhängern aufgebaut wurde, und die Existenz einer Zahl, die nicht als Verhältnis zweier von Gottes Schöpfungen ausgedrückt werden konnte (so dachten sie die ganzen Zahlen), gefährdete den gesamten Glauben des Kult-Systems.
Der arme Hippasus wurde anscheinend von den geheimnisvollen Pythagoräern ertränkt, weil er diese wichtige Entdeckung an die Außenwelt verbreitet hatte. Aber die Ersetzung der Idee der Göttlichkeit der ganzen Zahlen durch das reichere Konzept des Kontinuums war eine wesentliche Entwicklung in der Mathematik. Es war die eigentliche Geburtsstunde der griechischen Geometrie, die sich mit Linien und Ebenen und Winkeln befasst, die alle kontinuierlich und nicht diskret sind.
Unter seinen anderen Errungenschaften in der Geometrie erkannte Pythagoras (oder zumindest seine Anhänger, die Pythagoräer) auch, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich zwei rechten Winkeln (180°) ist. Sie konnten Flächenfiguren konstruieren und mit einfacher geometrischer Algebra beispielsweise Gleichungen mit geometrischen Mitteln lösen.
Auch die Pythagoräer legten mit ihren Untersuchungen von Dreiecks-, Quadrat- und auch vollkommenen Zahlen (Zahlen, die die Summe ihrer Teiler sind) die Grundlagen der Zahlentheorie. Sie entdeckten mehrere neue Eigenschaften von Quadratzahlen, etwa dass das Quadrat einer Zahl gleich der Summe der ersten ungeraden Zahlen ist (z. B. 4 2 = 16 = 1 + 3 + 5 + 7). Sie entdeckten auch mindestens das erste Paar befreundeter Zahlen, 220 und 284 (befreundete Zahlen sind Zahlenpaare, bei denen die Summe der Teiler einer Zahl gleich der anderen Zahl ist).
Pythagoras wird auch die Entdeckung zugeschrieben, dass die Intervalle zwischen harmonischen Musiknoten immer ganzzahlige Verhältnisse haben. Wenn Sie beispielsweise eine halbe Länge einer Gitarrensaite spielen, erhalten Sie dieselbe Note wie die leere Saite, jedoch eine Oktave höher. Ein Drittel der Länge gibt eine andere, aber harmonische Note usw.
Andererseits neigen nicht ganzzahlige Verhältnisse dazu, dissonante Klänge zu erzeugen. Auf diese Weise beschrieb Pythagoras die ersten vier Obertöne, die die gemeinsamen Intervalle bilden, die zu den wichtigsten Bausteinen der musikalischen Harmonie geworden sind: die Oktave, die reine Quinte, die reine Quarte und die große Terz. Die älteste Art, die chromatische 12-Noten-Tonleiter zu stimmen, ist als pythagoräische Stimmung bekannt und basiert auf einem Stapel von reinen Quinten, die jeweils im Verhältnis 3:2 gestimmt sind.
Der mystische Pythagoras war von dieser Entdeckung so begeistert, dass er davon überzeugt war, dass das ganze Universum auf Zahlen beruhte und dass sich die Planeten und Sterne nach mathematischen Gleichungen bewegten, die musikalischen Noten entsprachen, und so eine Art Sinfonie hervorbrachte, die „Musikalischen Universalien“ oder „Musik der Sphären“.
PLATON
Obwohl Platon heute normalerweise als Philosoph in Erinnerung bleibt, war er auch einer der wichtigsten Förderer der Mathematik im antiken Griechenland. Inspiriert von Pythagoras gründete er 387 v. Chr. seine Akademie in Athen, wo er die Mathematik als einen Weg betonte, mehr über die Realität zu verstehen. Insbesondere war er davon überzeugt, dass die Geometrie der Schlüssel zur Entschlüsselung der Geheimnisse des Universums war. Auf dem Schild über dem Eingang der Akademie stand: „Lass hier niemanden eintreten, der keine Ahnung von Geometrie hat“.
Platon spielte eine wichtige Rolle bei der Ermutigung und Inspiration griechischer Intellektueller, sowohl Mathematik als auch Philosophie zu studieren. Seine Akademie lehrte Mathematik als Zweig der Philosophie, wie es Pythagoras getan hatte, und die ersten 10 Jahre des 15-jährigen Kurses an der Akademie umfassten das Studium der Naturwissenschaften und Mathematik, einschließlich der ebenen und festen Geometrie, der Astronomie und der Harmonik. Plato wurde als „Macher von Mathematikern“ bekannt, und seine Akademie rühmte sich einiger der prominentesten Mathematiker der Antike, darunter Eudoxus, Theätetus und Archytas.
Er forderte von seinen Studenten genaue Definitionen, klar formulierte Annahmen und logische deduktive Beweise, und er bestand darauf, dass geometrische Beweise nur mit einem Lineal und einem Zirkel demonstriert werden sollten. Unter den vielen mathematischen Problemen, die Platon seinen Schülern zur Untersuchung stellte, waren die sogenannten Drei klassischen Probleme („Quadratur des Kreises“, „Würfelverdopplung“ und „Winkeldreiteilung“), und bis zu einem gewissen Grad wurden diese Probleme mit Platon identifiziert, obwohl er nicht der erste war, der sie gestellt hat.
Platon, der Mathematiker, ist vielleicht am bekanntesten für seine Identifizierung von 5 regelmäßigen, symmetrischen dreidimensionalen Formen, die er als die Grundlage des gesamten Universums bezeichnete und die als die platonischen Körper bekannt geworden sind: das Tetraeder (konstruiert aus 4 regelmäßigen Dreiecken, der für Platon das Feuer darstellte), das Oktaeder (bestehend aus 8 Dreiecken, das Luft darstellt), das Ikosaeder (bestehend aus 20 Dreiecken, das Wasser darstellt), der Würfel (bestehend aus 6 Quadraten, das die Erde darstellt) und das Dodekaeder (hergestellt aus 12 Fünfecken, die Plato vage als „den Gott, der die Konstellationen am ganzen Himmel anordnet “ bezeichnete).
Das Tetraeder, der Würfel und das Dodekaeder waren wahrscheinlich Pythagoras vertraut, und das Oktaeder und das Ikosaeder wurden wahrscheinlich von Theätetos, einem Zeitgenossen Platons, entdeckt. Darüber hinaus fiel es Euklid zu, ein halbes Jahrhundert später zu beweisen, dass dies die einzig möglichen konvexen regulären Polyeder waren. Trotzdem wurden sie im Volksmund als die platonischen Körper bekannt und inspirierten Mathematiker und Geometer für viele Jahrhunderte. Zum Beispiel entwickelte der deutsche Astronom Johannes Kepler um 1600 ein ausgeklügeltes System aus verschachtelten platonischen Körpern und Kugeln, um die Entfernungen der bekannten Planeten von der Sonne recht gut zu approximieren (obwohl er genug Wissenschaftler war, um sein elegantes Modell aufzugeben, als es sich als nicht genau genug zu sein herausstellte).
HELLENISMUS
Im 3. Jahrhundert v. Chr., im Gefolge der Eroberungen Alexanders des Großen, wurden auch an den Rändern des griechisch-hellenistischen Reiches mathematische Durchbrüche erzielt.
Insbesondere Alexandria in Ägypten wurde unter der wohltätigen Herrschaft der Ptolemäer zu einem großen Zentrum des Lernens, und seine berühmte Bibliothek erlangte bald einen Ruf, der mit dem der Athener Akademie mithalten konnte. Die Gönner der Bibliothek waren wohl die ersten professionellen Wissenschaftler, die für ihre Hingabe an die Forschung bezahlt wurden. Zu den bekanntesten und einflussreichsten Mathematikern, die in Alexandria studierten und lehrten, gehörten Euklid, Archimedes, Eratosthenes, Heron, Menelaos und Diophantus.
Während des späten 4. und frühen 3. Jahrhunderts v. Chr. war Euklid der große Chronist der Mathematik der damaligen Zeit und einer der einflussreichsten Geschichtslehrer. Er hat praktisch die klassische (euklidische) Geometrie, wie wir sie kennen, erfunden. Archimedes verbrachte den größten Teil seines Lebens in Syrakus auf Sizilien, studierte aber auch eine Zeit lang in Alexandria. Er ist vielleicht am besten als Ingenieur und Erfinder bekannt, aber angesichts der jüngsten Entdeckungen gilt er heute als einer der größten reinen Mathematiker aller Zeiten. Eratosthenes von Alexandria war im 3. Jahrhundert v. Chr. nahezu ein Zeitgenosse von Archimedes. Als Mathematiker, Astronom und Geograph entwickelte er das erste Breiten- und Längengrad-System und berechnete den Umfang der Erde mit bemerkenswerter Genauigkeit. Als Mathematiker ist sein größtes Vermächtnis das „Sieb des Eratosthenes“, ein Algorithmus zur Identifizierung von Primzahlen.
Es ist nicht genau bekannt, wann die große Bibliothek von Alexandria niederbrannte, aber Alexandria blieb einige Jahrhunderte lang ein wichtiges intellektuelles Zentrum. Im 1. Jahrhundert v. Chr. war Heron ein weiterer großer alexandrinischer Erfinder, der in mathematischen Kreisen am besten für heronische Dreiecke (Dreiecke mit ganzzahligen Seiten und ganzzahliger Fläche) bekannt ist, Herons Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks aus seinen Seitenlängen und Herons Methode zur iterativen Berechnung einer Quadratwurzel. Er war auch der erste Mathematiker, der sich zumindest mit der Idee von √-1 auseinandersetzte (obwohl er keine Ahnung hatte, wie er damit umgehen sollte, etwas, das im 16. Jahrhundert auf Tartaglia und Cardano warten musste).
Menelaos von Alexandria, der im 1. – 2. Jahrhundert n. Chr. lebte, war der erste, der die Geodäten auf einer gekrümmten Oberfläche als das natürliche Analogon von geraden Linien auf einer flachen Ebene erkannte. Sein Buch „Sphaerica“ befasste sich mit der Geometrie der Kugel und ihrer Anwendung bei astronomischen Messungen und Berechnungen und führte das Konzept des sphärischen Dreiecks ein (eine aus drei großen Kreisbögen gebildete Figur, die er „Trilaterale“ nannte).
Im 3. Jahrhundert n. Chr. erkannte Diophantus von Alexandria als erster Brüche als Zahlen und gilt als früher Erneuerer auf dem Gebiet der späteren Algebra. Er befasste sich mit einigen ziemlich komplexen algebraischen Problemen, einschließlich der sogenannten Diophantischen Analysis, die sich mit dem Auffinden ganzzahliger Lösungen für Arten von Problemen befasst, die zu Gleichungen mit mehreren Unbekannten führen (Diophantinische Gleichungen). Diophantus' „Arithmetica“, eine Sammlung von Problemen, die numerische Lösungen sowohl bestimmter als auch unbestimmter Gleichungen liefern, war das herausragendste Werk über Algebra in der gesamten griechischen Mathematik, und seine Probleme beschäftigten viele der weltbesten Mathematiker für einen Großteil der nächsten Zeit zwei Jahrtausende.
Aber Alexandria war nicht das einzige Zentrum der Gelehrsamkeit im hellenistischen griechischen Reich. Erwähnenswert ist auch Apollonius von Perge (einer Stadt in der heutigen Südtürkei), dessen Arbeiten zur Geometrie (und insbesondere zu Kegelschnitten) aus dem späten 3. Jahrhundert v. Chr. einen großen Einfluss auf spätere europäische Mathematiker hatten. Es war Apollonius, der der Ellipse, der Parabel und der Hyperbel die Namen gab, unter denen wir sie kennen, und zeigte, wie sie aus verschiedenen Schnitten durch einen Kegel abgeleitet werden können.
Hipparchos, der ebenfalls aus dem hellenistischen Anatolien stammte und im 2. Jahrhundert v. Chr. lebte, war vielleicht der größte aller antiken Astronomen. Er belebte die Verwendung arithmetischer Techniken, die zuerst von den Chaldäern und Babyloniern entwickelt wurden, und wird normalerweise mit den Anfängen der Trigonometrie in Verbindung gebracht. Er berechnete (mit bemerkenswerter Genauigkeit für die damalige Zeit) die Entfernung des Mondes von der Erde, indem er die verschiedenen Teile des Mondes maß, die an verschiedenen Orten sichtbar waren, und die Entfernung unter Verwendung der Eigenschaften von Dreiecken berechnete. Er fuhr fort, die erste Akkordtabelle zu erstellen (Seitenlängen, die verschiedenen Winkeln eines Dreiecks entsprechen). Zur Zeit des großen alexandrinischen Astronomen Ptolemäus im 2. Jahrhundert n. Chr. war die griechische Beherrschung numerischer Verfahren jedoch so weit fortgeschritten, dass Ptolemäus in der Lage war, in seinem „Almagest“ eine Tabelle trigonometrischer Akkorde in einem Kreis für Schritte von ¼° aufzunehmen, die (obwohl sie im Babylonischen Stil sexagesimal ausgedrückt werden) auf etwa fünf Dezimalstellen genau ist.
Mitte des 1. Jahrhunderts v. Chr. und danach hatten die Römer jedoch ihren Einfluss auf das alte griechische Reich verstärkt. Die Römer hatten keine Verwendung für reine Mathematik, nur für ihre praktischen Anwendungen, und das darauf folgende christliche System noch weniger. Der endgültige Schlag gegen das hellenistische mathematische Erbe in Alexandria könnte in der Figur von Hypatia gesehen werden, der ersten dokumentierten weiblichen Mathematikerin und einer renommierten Lehrerin, die einige angesehene Kommentare zu Diophantus und Apollonius geschrieben hatte. Sie wurde 415 n. Chr. von einem christlichen Mob in den Tod geschleppt.
EUKLID VON ALEXANDRIA
Der griechische Mathematiker Euklid lebte und blühte um 300 v. Chr. während der Regierungszeit von Ptolemaios I. in Alexandria in Ägypten auf. Fast nichts ist über sein Leben bekannt, und kein Abbild oder eine Beschreibung aus erster Hand seiner körperlichen Erscheinung hat die Antike überlebt, und so sind Darstellungen von ihn (mit langem, fließendem Bart und Stoffmütze) in Kunstwerken notwendigerweise Produkte der Vorstellungskraft des Künstlers.
Wahrscheinlich studierte er eine Zeit lang an Platons Akademie in Athen, aber zu Euklids Zeit war Alexandria unter der Schirmherrschaft der Ptolemäer und mit seiner angesehenen und umfassenden Bibliothek bereits ein würdiger Rivale der großen Akademie geworden.
Euklid wird oft als „Vater der Geometrie“ bezeichnet, und er schrieb das vielleicht wichtigste und erfolgreichste mathematische Lehrbuch aller Zeiten, das „Stoicheion“ oder „Elemente“, das den Höhepunkt der mathematischen Revolution darstellt, die stattgefunden hatte in Griechenland. Er schrieb auch Arbeiten über die Teilung geometrischer Figuren in Teile in bestimmten Verhältnissen, über die Katoptrie (die mathematische Theorie von Spiegeln und Reflexion) und über die sphärische Astronomie (die Bestimmung des Standorts von Objekten auf der „Himmelskugel“) sowie wichtige Texte zu Optik und Musik.
Die „Elemente“ waren eine klare und umfassende Zusammenstellung und Erläuterung der gesamten bekannten Mathematik seiner Zeit, einschließlich der Arbeiten von Pythagoras, Hippokrates, Theudius, Theätetus und Eudoxus. Insgesamt enthält es 465 Sätze und Beweise, die in einem klaren, logischen und eleganten Stil beschrieben sind, und es wird nur ein Zirkel und ein Lineal verwendet. Euklid überarbeitete die mathematischen Konzepte seiner Vorgänger zu einem konsistenten Ganzen, das später als Euklidische Geometrie bekannt wurde und heute noch genauso gültig ist wie vor 2.300 Jahren, sogar in der höheren Mathematik, die sich mit höherdimensionalen Räumen befasst. Erst mit den Arbeiten von Bolyai, Lobachevski und Riemann in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts kam es auf, dass irgendeine Art von nicht-euklidischer Geometrie überhaupt in Betracht gezogen wurde.
Die „Elemente“ blieben weit über zwei Jahrtausende lang das maßgebliche Lehrbuch für Geometrie und Mathematik und überlebten die Finsternis des klassischen Lernens in Europa während des Mittelalters durch arabische Übersetzungen. Es legte für alle Zeiten das Modell für mathematische Argumente fest, indem es logischen Ableitungen von anfänglichen Annahmen folgte (die Euklid „Axiome“ und „Postulate“ nannte), um bewiesene Theoreme aufzustellen.
Die fünf allgemeinen Axiome von Euklid waren:
Dinge, die gleich sind, sind einander gleich.
Wenn Gleiches zu Gleichem addiert wird, sind die Summen gleich.
Wenn Gleiches von Gleichem subtrahiert wird, sind die Differenzen gleich.
Dinge, die miteinander übereinstimmen, sind einander gleich.
Das Ganze ist größer als der Teil.
Seine fünf geometrischen Postulate waren:
Es ist möglich, von jedem Punkt zu jedem Punkt eine gerade Linie zu ziehen.
Es ist möglich, eine endliche gerade Linie kontinuierlich in einer geraden Linie zu verlängern (d.h. ein Liniensegment kann über jeden seiner Endpunkte hinaus verlängert werden, um ein beliebig großes Liniensegment zu bilden).
Es ist möglich, einen Kreis mit beliebigem Mittelpunkt und Abstand (Radius) zu erstellen.
Alle rechten Winkel sind einander gleich.
Wenn eine gerade Linie, die zwei gerade Linien kreuzt, die Innenwinkel auf derselben Seite kleiner als zwei rechte Winkel macht, treffen sich die beiden geraden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit erzeugt werden, auf der Seite, auf der die Winkel kleiner als die beiden rechten Winkel sind.
Neben vielen anderen mathematischen Juwelen enthalten die dreizehn Bände der „Elemente“ Formeln zur Berechnung der Volumina von Körpern wie Kegeln, Pyramiden und Zylindern; Beweise über geometrische Reihen, vollkommene Zahlen und Primzahlen; Algorithmen zum Finden des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von zwei Zahlen; ein Beweis und eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras und ein Beweis dafür, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt; und ein endgültiger endgültiger Beweis, dass es nur fünf mögliche reguläre platonische Körper geben kann.
Die „Elemente“ enthalten jedoch auch eine Reihe von Sätzen über die Eigenschaften von Zahlen und ganzen Zahlen, die die ersten wirklichen Anfänge der Zahlentheorie markieren. Zum Beispiel bewies Euklid, was als Fundamentales Theorem der Arithmethik bekannt geworden ist, dass jede positive ganze Zahl größer als 1 als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann (oder selbst eine Primzahl ist). Sein Beweis war das erste bekannte Beispiel eines Beweises durch Widerspruch (bei dem gezeigt wird, dass jedes Gegenbeispiel, das ansonsten eine falsche Idee beweisen würde, selbst keinen logischen Sinn ergibt).
Er war der Erste, der erkannte und bewies dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Grundlage seines Beweises, der oft als Satz von Euklid bekannt ist, ist, dass für jede gegebene (endliche) Menge von Primzahlen, wenn Sie alle miteinander multiplizieren und dann eine addieren, dann eine neue Primzahl zu der Menge hinzugefügt wurde, ein Prozess, der unendlich oft wiederholt werden kann.
Euklid identifizierte auch die ersten vier „vollkommenen Zahlen“, Zahlen, die die Summe aller ihrer Teiler sind (mit Ausnahme der Zahl selbst): Er stellte fest, dass diese Zahlen auch viele andere interessante Eigenschaften haben.
Obwohl die Pythagoräer den Goldenen Schnitt (φ, ungefähr gleich 1,618) kannten, war Euklid der Erste, der ihn in Bezug auf Verhältnisse definierte und sein Auftreten in vielen geometrischen Formen demonstrierte.
ARCHIMEDES VON SYRAKUS
Ein weiterer griechischer Mathematiker, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria studierte, war Archimedes, obwohl er in Syrakus auf Sizilien (einer hellenisch-griechischen Kolonie in Magna Graecia) geboren wurde, starb und den größten Teil seines Lebens dort verbrachte. Über sein Leben ist wenig bekannt, und viele der Geschichten und Anekdoten über ihn wurden lange nach seinem Tod von den Historikern des antiken Roms geschrieben.
Archimedes, ebenfalls ein Ingenieur, Erfinder und Astronom, war während des größten Teils der Geschichte am bekanntesten für seine militärischen Innovationen wie seine Belagerungsmaschinen und Spiegel, um die Kraft der Sonne zu nutzen und zu bündeln, sowie für Hebel, Riemenscheiben und Pumpen (einschließlich der berühmten Schraubenpumpe, bekannt als Archimedische Schraube, die noch heute in einigen Teilen der Welt zur Bewässerung verwendet wird).
Aber seine wahre Liebe galt der reinen Mathematik, und die Entdeckung von bisher unbekannten Arbeiten im Jahr 1906, die als „Archimedes Palimpsest“ bezeichnet werden, hat neue Erkenntnisse darüber geliefert, wie er zu seinen mathematischen Ergebnissen gelangte. Heute gilt Archimedes weithin als einer der größten Mathematiker der Antike, wenn nicht aller Zeiten, in der erhabenen Gesellschaft von Mathematikern wie Newton und Gauß.
Archimedes erstellte Formeln zur Berechnung der Flächen regelmäßiger Formen, indem er eine revolutionäre Methode zur Erfassung neuer Formen verwendete, indem er Formen verwendete, die er bereits verstand. Um beispielsweise die Fläche eines Kreises abzuschätzen, konstruierte er außerhalb des Kreises ein größeres Polygon und innerhalb des Kreises ein kleineres. Er schloss den Kreis zuerst in ein Dreieck, dann in ein Quadrat, Fünfeck, Sechseck usw., wobei er sich jedes Mal der Fläche des Kreises näherte. Durch diese sogenannte „Erschöpfungsmethode“ (oder einfach „Archimedes-Methode“) hat er effektiv einen Wert für eine der wichtigsten Zahlen in der gesamten Mathematik, π , gefunden. Seine Schätzung lag zwischen 3 1 ⁄ 7 (ungefähr 3,1429) und 3 10 ⁄71 (ungefähr 3,1408), was sich gut mit seinem tatsächlichen Wert von ungefähr 3,1416 vergleichen lässt.
Interessanterweise schien sich Archimedes ziemlich bewusst zu sein, dass nur eine Spannweite festgestellt werden konnte und dass der tatsächliche Wert möglicherweise nie bekannt war. Seine Methode zur Schätzung von π wurde im 16. Jahrhundert von Ludoph van Ceulen auf die Spitze getrieben, der ein Polygon mit außergewöhnlichen 4.611.686.018.427.387.904 Seiten verwendete, um zu einem auf 35 Stellen genauen Wert von π zu gelangen. Wir wissen jetzt, dass π tatsächlich eine irrationale Zahl ist, deren Wert niemals mit vollständiger Genauigkeit bekannt sein kann.
In ähnlicher Weise berechnete er das ungefähre Volumen eines Festkörpers wie einer Kugel, indem er ihn in eine Reihe von Zylindern zerschnitt und die Volumina der einzelnen Zylinder zusammenzählte. Er sah, dass seine Annäherung immer genauer wurde, indem er die Scheiben immer dünner machte, so dass seine Annäherung am Ende zu einer exakten Berechnung wurde. Diese Verwendung von Infinitesimalzahlen, ähnlich der modernen Integralrechnung, ermöglichte es ihm, Antworten auf Probleme mit einem beliebigen Grad an Genauigkeit zu geben, während er die Grenzen angab, innerhalb derer die Antwort lag.
Archimedes‘ raffinierteste Anwendung der Erschöpfungsmethode, die bis zur Entwicklung der Integralrechnung im 17. Jahrhundert unübertroffen blieb, war sein Beweis – bekannt als die Quadratur der Parabel – dass die Fläche eines Parabelsegments 4 ⁄ 3 der Fläche einem bestimmten eingeschriebenen Dreieck ist. Er zerlegte die Fläche eines Parabelsegments (das von einer Parabel und einer Linie eingeschlossene Gebiet) in unendlich viele Dreiecke, deren Flächen eine geometrische Folge bilden. Dann berechnete er die Summe der resultierenden geometrischen Reihen und bewies, dass dies die Fläche des parabolischen Segments ist.
Tatsächlich hatte Archimedes von allen griechischen Mathematikern vielleicht die vorausschauendste Sicht auf das Konzept der Unendlichkeit. Im Allgemeinen bedeutete die Vorliebe der Griechen für präzise, strenge Beweise und ihr Misstrauen gegenüber Paradoxien, dass sie den Begriff der tatsächlichen Unendlichkeit vollständig vermieden. Sogar Euklid, in seinem Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen, schloss sorgfältig, dass es „mehr Primzahlen als jede gegebene endliche Zahl“ gibt, d.h. eher eine Art „potentielle Unendlichkeit“ als die „tatsächliche Unendlichkeit“ beispielsweise der Zahl von Punkten auf einer Linie. Archimedes ging jedoch im „Archimedes Palimpsest“ weiter als jeder andere griechische Mathematiker, als er beim Vergleich zweier unendlich großer Mengen feststellte, dass sie eine gleiche Anzahl von Gliedern hatten, und somit zum ersten Mal die tatsächliche Unendlichkeit berücksichtigte, ein Konzept, das nicht erst bei Georg Cantor im 19. Jahrhundert wieder ernsthaft in Erwägung gezogen wurde.
Archimedes zeigte, dass das Volumen und die Oberfläche einer Kugel zwei Drittel des umschreibenden Zylinders betragen.
Die Entdeckung, auf die Archimedes am stolzesten zu sein behauptete, war die Beziehung zwischen einer Kugel und einem umschreibenden Zylinder gleicher Höhe und gleichen Durchmessers. Er berechnete das Volumen einer Kugel zu 4 ⁄ 3 π r 3, das eines Zylinders gleicher Höhe und Durchmessers zu 2 π r 3. Die Oberfläche betrug 4 πr 2 für die Kugel und 6 π r 2 für den Zylinder (einschließlich seiner beiden Basen). Daher stellt sich heraus, dass die Kugel ein Volumen hat, das zwei Dritteln des Zylinders entspricht, und eine Oberfläche, die ebenfalls zwei Dritteln des Zylinders entspricht. Archimedes war mit diesem Ergebnis so zufrieden, dass auf seinen Wunsch hin eine geformte Kugel und ein Zylinder auf seinem Grab platziert werden sollten.
Trotz seiner wichtigen Beiträge zur reinen Mathematik ist Archimedes jedoch wahrscheinlich am besten für die anekdotische Geschichte seiner Entdeckung einer Methode zur Bestimmung des Volumens eines Objekts mit unregelmäßiger Form in Erinnerung geblieben.
Eureka! Eureka!
König Hieron von Syrakus hatte Archimedes gebeten, herauszufinden, ob der königliche Goldschmied ihn betrogen hatte, indem er Silber in seine neue Goldkrone gelegt hatte, aber Archimedes konnte es eindeutig nicht einschmelzen, um es zu messen und seine Dichte zu bestimmen, also war er gezwungen, eine Alternativlösung zu suchen.
Ein Experiment zur Demonstration des archimedischen Prinzips
Als er am Tag sein Bad nahm, bemerkte er, dass der Wasserstand in der Wanne beim Einsteigen stieg, und er hatte die plötzliche Eingebung, dass er diesen Effekt nutzen könnte, um das Volumen (und damit die Dichte) der Krone zu bestimmen. In seiner Aufregung stürzte er offenbar aus dem Bad und rannte nackt durch die Straßen und rief: „Heureka! Heureka!“ („Ich hab es gefunden! Ich hab es gefunden!“). Daraus entstand das sogenannte archimedische Prinzip: Ein Objekt, das in eine Flüssigkeit getaucht wird, wird durch eine Kraft, die dem Gewicht der von dem Objekt verdrängten Flüssigkeit entspricht, nach oben getrieben.
Ein weiteres bekanntes Zitat, das Archimedes zugeschrieben wird, lautet: „Gib mir einen Platz, auf dem ich stehen kann, und ich werde die Erde bewegen“, was bedeutet, dass er, wenn er einen Drehpunkt und einen Hebel hätte, lang genug, die Erde aus eigener Kraft bewegen könnte. Und seine Arbeit über Schwerpunkte war sehr wichtig für zukünftige Entwicklungen in der Mechanik.
Der Legende nach wurde Archimedes nach der Eroberung der Stadt Syrakus von einem römischen Soldaten getötet. Er betrachtete ein mathematisches Diagramm im Sand und machte den Soldaten wütend, indem er sich weigerte, den römischen General zu treffen, bis er mit der Arbeit an dem Problem fertig war. Seine letzten Worte sollen „Störe meine Kreise nicht!“ gewesen sein.
DIOPHANTUS VON ALEXANDRIA
Diophantus war ein hellenistischer griechischer (oder möglicherweise ägyptischer, chaldäischer oder gar jüdischer) Mathematiker, der im 3. Jahrhundert n. Chr. In Alexandria lebte. Er wird manchmal als „Vater der Algebra“ bezeichnet und schrieb eine einflussreiche Buchreihe namens „Arithmetica“, eine Sammlung algebraischer Probleme, die die nachfolgende Entwicklung der Zahlentheorie stark beeinflusste.
Er machte auch wichtige Fortschritte in der mathematischen Notation und war einer der ersten Mathematiker, der die Symbolik in die Algebra einführte, indem er eine verkürzte Notation für häufig vorkommende Operationen und eine Abkürzung für das Unbekannte und für die Potenzen des Unbekannten verwendete. Er war vielleicht der Erste, der Brüche als eigenständige Zahlen anerkannte und positive rationale Zahlen für die Koeffizienten und Lösungen seiner Gleichungen zuließ.
Diophantus widmete sich einigen ziemlich komplexen algebraischen Problemen, insbesondere dem, was seitdem als diophantische Analysis bekannt geworden ist, die sich mit dem Auffinden ganzzahliger Lösungen für Arten von Problemen befasst, die zu Gleichungen mit mehreren Unbekannten führen.
Diophantische Gleichungen können als Polynomgleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten definiert werden, für die nur ganzzahlige Lösungen gesucht werden.
Diophantus Hauptwerk (und das prominenteste Werk über Algebra in der gesamten griechischen Mathematik) war seine „Arithmetica“, eine Sammlung von Problemen, die numerische Lösungen sowohl für bestimmte als auch für unbestimmte Gleichungen liefern. Von den ursprünglich dreizehn Büchern der „Arithmetica“ sind nur sechs erhalten, obwohl einige diophantische Probleme aus der „Arithmetica“ auch in späteren arabischen Quellen gefunden wurden. Seine Probleme beschäftigten viele der weltbesten Mathematiker für einen Großteil der nächsten zwei Jahrtausende, mit einigen besonders gefeierten Lösungen, die unter anderem von Brahmagupta, Pierre de Fermat, Joseph Louis Lagrange und Leonhard Euler bereitgestellt wurden. In Anerkennung ihrer Tiefe schlug David Hilbert 1900 als zehntes seiner berühmten Probleme die Lösbarkeit aller diophantischen Probleme vor, eine endgültige Lösung, für die erst Mitte des 20. Jahrhunderts die Arbeit von Robinson und Matiyasevich auftauchte.
Eines der Probleme in einer späteren griechischen Anthologie von Zahlenspielen aus dem 5. Jahrhundert wird manchmal als Diophantus' Epitaph angesehen:
„Hier liegt Diophantus. Gott schenkte ihm ein Sechstel seines Lebens als Knabe; ein Zwölftel mehr als Jugend, während Schnurrhaare weit verbreitet waren; und dann noch ein Siebtel, bevor die Ehe begonnen hat. In fünf Jahren kam ein springender neuer Sohn; ach, das liebe Kind des Meisters, des Weisen, nachdem er die Hälfte des Lebens seines Vaters erreicht hatte, nahm ihn ein kaltes Schicksal hinweg. Nachdem er sein Schicksal vier Jahre lang mit der Wissenschaft der Zahlen getröstet hatte, beendete er sein Leben. ”
RÖMISCHE MATHEMATIK
Mitte des 1. Jahrhunderts v. Chr. hatten die Römer ihren Griff auf die alten griechischen und hellenistischen Reiche verstärkt, und die mathematische Revolution der Griechen geriet ins Stocken. Trotz aller Fortschritte in anderer Hinsicht gab es unter dem Römischen Reich und der Republik keine mathematischen Neuerungen, und es gab keine bedeutenden Mathematiker. Die Römer hatten keine Verwendung für reine Mathematik, nur für ihre praktischen Anwendungen, und das darauf folgende christliche System (nachdem das Christentum zur offiziellen Religion des Römischen Reiches wurde) noch weniger.
Römische Zahlen sind heute wohlbekannt und waren für den größten Teil eines Jahrtausends das vorherrschende Zahlensystem für Handel und Verwaltung in den meisten Teilen Europas. Es war ein Dezimalsystem (Basis 10), aber nicht direkt positionell und enthielt keine Null, so dass es für arithmetische und mathematische Zwecke ein ungeschicktes und ineffizientes System war. Es basierte auf Buchstaben des römischen Alphabets – I, V, X, L, C, D und M – kombiniert, um die Summe ihrer Werte zu bezeichnen.
Später wurde auch eine subtraktive Schreibweise eingeführt, wobei VIIII beispielsweise durch IX (10 – 1 = 9) ersetzt wurde, was das Schreiben von Zahlen etwas vereinfachte, aber das Rechnen noch schwieriger machte und eine Umwandlung der subtraktiven Schreibweise erforderte, den Anfang einer Summe und dann ihre erneute Anwendung am Ende. Aufgrund der Schwierigkeit der schriftlichen Arithmetik mit römischer Zahlennotation wurden Berechnungen normalerweise mit einem Abakus durchgeführt, der auf früheren babylonischen und griechischen Abaci basierte.
MAYA-MATHEMATIK
Die Maya-Zivilisation hatte sich ab etwa 2000 v. Chr. in der Region Mittelamerikas angesiedelt, wobei sich die sogenannte klassische Periode von etwa 250 n. Chr. bis 900 n. Chr. erstreckt. Auf seinem Höhepunkt war es eine der am dichtesten besiedelten und kulturell dynamischsten Gesellschaften der Welt.
Die Bedeutung von Astronomie und Kalenderberechnungen in der Maya-Gesellschaft erforderte Mathematik, und die Maya konstruierten schon früh ein sehr ausgeklügeltes Zahlensystem, das zu dieser Zeit möglicherweise fortschrittlicher war als jedes andere auf der Welt.
Die Maya und andere mesoamerikanische Kulturen verwendeten ein vigesimales Zahlensystem, das auf der Basis 20 (und in gewissem Maße auf der Basis 5) basiert und wahrscheinlich ursprünglich aus dem Zählen an Fingern und Zehen entwickelt wurde. Die Ziffern bestanden aus nur drei Symbolen: Null, dargestellt als Muschelform; eins, ein Punkt; und fünf, ein Balken. Somit war die Addition und Subtraktion eine relativ einfache Sache des Addierens von Punkten und Balken. Nach der Zahl 19 wurden größere Zahlen in einer Art vertikalem Stellenwertformat mit Potenzen von 20: 1, 20, 400, 8000, 160000 usw. geschrieben, obwohl sie in ihren Kalenderberechnungen der dritten Position gaben den Wert von 360 statt 400 (höhere Positionen werden auf Vielfache von 20 zurückgesetzt).
Die präklassischen Maya und ihre Nachbarn hatten das Konzept der Null (Maya-Null) bereits mindestens 36 v. Chr., und man nahm mehrere Linien, nur um sie darzustellen. Obwohl sie nicht über das Konzept eines Bruchteils verfügten, führten sie äußerst genaue astronomische Beobachtungen durch, indem sie keine anderen Instrumente als Stöcke verwendeten, und waren in der Lage, die Länge des Sonnenjahres mit einem weitaus höheren Genauigkeitsgrad zu messen als in Europa (ihre Berechnungen ergaben 365,242 Tage, verglichen mit dem modernen Wert von 365,242198), sowie die Länge des Mondmonats (ihre Schätzung betrug 29,5308 Tage, verglichen mit dem modernen Wert von 29,53059).
Aufgrund der geografischen Trennung hatte die Maya und mesoamerikanische Mathematik jedoch absolut keinen Einfluss auf die Zahlensysteme und die Mathematik der Alten Welt (europäische und asiatische).
CHINESISCHE MATHEMATIK
Selbst als die mathematischen Entwicklungen in der antiken griechischen Welt in den letzten Jahrhunderten v. Chr. ins Stocken gerieten, führte das aufkeimende Handelsimperium Chinas die chinesische Mathematik zu immer größeren Höhen.
Das einfache, aber effiziente alte chinesische Nummerierungssystem, das mindestens bis ins 2. Jahrtausend v. Chr. zurückreicht, verwendete kleine Bambusstäbe, die so angeordnet waren, dass sie die Zahlen 1 bis 9 darstellten, die dann in Spalten platziert wurden, die Einheiten, Zehner, Hunderter, Tausender usw. darstellten. Es war daher ein dezimales Stellenwertsystem, sehr ähnlich dem, das wir heute verwenden, tatsächlich war es das erste derartige Zahlensystem, das von den Chinesen über tausend Jahre vor seiner Einführung im Westen übernommen wurde, und es machte sogar recht komplexe Berechnungen sehr schnell und einfach.
Geschriebene Zahlen verwendeten jedoch das etwas weniger effiziente System, ein anderes Symbol für Zehner, Hunderter, Tausender usw. zu verwenden. Dies lag hauptsächlich daran, dass es kein Konzept oder Symbol für Null gab, und es hatte den Effekt, dass die Nützlichkeit der geschriebenen Zahl eingeschränkt wurde.
Die Verwendung des Abakus wird oft als eine chinesische Idee angesehen, obwohl eine Art Abakus in Mesopotamien, Ägypten und Griechenland verwendet wurde, wahrscheinlich viel früher als in China.
Im alten China herrschte eine allgegenwärtige Faszination für Zahlen und mathematische Muster, und es wurde angenommen, dass verschiedene Zahlen kosmische Bedeutung haben. Insbesondere magische Quadrate – Zahlenquadrate, bei denen jede Reihe, Spalte und Diagonale die gleiche Summe ergeben – wurden als von großer spiritueller und religiöser Bedeutung angesehen.
Das Lo Shu-Quadrat, ein Quadrat der Ordnung drei, bei dem jede Reihe, Spalte und Diagonale 15 ergibt, ist vielleicht das früheste davon und stammt aus der Zeit um 650 v. Chr. (Die Legende erzählt von Kaiser Yus Entdeckung des Quadrats auf dem Rücken einer Schildkröte, das sollte um 2800 v. Chr. stattgefunden haben). Aber bald wurden größere magische Quadrate mit noch größeren magischen und mathematischen Kräften konstruiert, die in den kunstvollen magischen Quadraten, Kreisen und Dreiecken von Yang Hui im Pascals-Dreieck mündeten und dies war vielleicht der erste, der Dezimalbrüche in der modernen Form verwendete.
Aber die Hauptrichtung der chinesischen Mathematik entwickelte sich als Reaktion auf den wachsenden Bedarf des Imperiums an mathematisch kompetenten Verwaltern. Ein Lehrbuch mit dem Titel „Jiuzhang Suanshu“ oder „Neun Kapitel über die mathematische Kunst“ (geschrieben über einen Zeitraum von etwa 200 v. Chr. an, wahrscheinlich von einer Vielzahl von Autoren) wurde zu einem wichtigen Werkzeug in der Ausbildung eines solchen Beamten mit Hunderten von Problemen in praktischen Bereichen wie Handel, Steuern, Ingenieurwesen und Lohnzahlungen.
Es war besonders wichtig als Leitfaden zum Lösen von Gleichungen – das Ableiten einer unbekannten Zahl von anderen bekannten Informationen – mit einer ausgeklügelten matrixbasierten Methode, die im Westen erst auftauchte, als Carl Friedrich Gauß sie zu Beginn des 19. Jahrhunderts wiederentdeckte (und die heute als Gaußsche Elimination bekannt ist).
Zu den größten Mathematikern des alten China gehörte Liu Hui, der 263 n. Chr. einen detaillierten Kommentar zu den „Neun Kapiteln“ verfasste. Er war einer der ersten Mathematiker, von denen bekannt ist, dass sie Wurzeln unbewertet ließen und genauere Ergebnisse anstelle von Näherungen lieferten. Durch eine Annäherung unter Verwendung eines regelmäßigen Polygons mit 192 Seiten formulierte er auch einen Algorithmus, der den Wert von π als 3,14159 (auf fünf Dezimalstellen genau) berechnete, und entwickelte eine sehr frühe Form der Integral- und Differentialrechnung.
Die Chinesen lösten jedoch weitaus komplexere Gleichungen mit weitaus größeren Zahlen als denen, die in den „Neun Kapiteln“ beschrieben wurden. Sie begannen auch, abstraktere mathematische Probleme zu verfolgen (obwohl sie normalerweise in ziemlich künstlichen praktischen Begriffen formuliert sind), einschließlich des sogenannten chinesischen Restsatzes. Dabei werden die Reste nach der Division einer unbekannten Zahl durch eine Folge kleinerer Zahlen wie 3, 5 und 7 verwendet, um den kleinsten Wert der unbekannten Zahl zu berechnen. Eine Technik zur Lösung solcher Probleme, die ursprünglich von Sun Tzu im 3. Jahrhundert n. Chr. aufgestellt wurde und als eines der Juwelen der Mathematik galt, wurde von chinesischen Astronomen im 6. Jahrhundert n. Chr. zur Messung von Planetenbewegungen verwendet und hat auch heute noch praktische Anwendungen. wie in der Internet-Kryptographie.
Im 13. Jahrhundert, dem Goldenen Zeitalter der chinesischen Mathematik, gab es über 30 renommierte Mathematikschulen, die über ganz China verstreut waren. Der vielleicht brillanteste chinesische Mathematiker dieser Zeit war Qin Jiushao, ein ziemlich gewalttätiger und korrupter imperialer Verwalter und Krieger, der Lösungen für quadratische und sogar kubische Gleichungen erforschte, indem er eine Methode wiederholter Annäherungen verwendete, die der später im Westen von Sir Isaac Newton entwickelten Methode sehr ähnlich war. Qin erweiterte seine Technik sogar, um (wenn auch ungefähr) Gleichungen mit Zahlen bis zur Zehnerpotenz zu lösen, was für seine Zeit eine außerordentlich komplexe Mathematik war.
INDISCHE MATHEMATIK
Obwohl sie sich ziemlich unabhängig von der chinesischen (und wahrscheinlich auch von der babylonischen Mathematik) entwickelt hat, wurden in Indien schon sehr früh einige sehr fortgeschrittene mathematische Entdeckungen gemacht.
Mantras aus der frühen vedischen Zeit (vor 1000 v. Chr.) rufen Zehnerpotenzen von hundert bis zu einer Billion hervor und liefern Beweise für die Verwendung von arithmetischen Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Brüche, Quadrate, Würfel und Wurzeln. Ein Sanskrit-Text aus dem 4. Jahrhundert n. Chr. berichtet, dass Buddha Zahlen bis 10 hoch 53 aufzählt und darüber hinaus sechs weitere Nummerierungssysteme beschreibt, was zu einer Zahl führt, die 10 hoch 421 entspricht. Da es schätzungsweise 10 hoch 80 Atome im gesamten Universum sind, das ist so nah an der Unendlichkeit, wie es in der antiken Welt noch nie vorgekommen ist. Es beschreibt auch eine Reihe von Iterationen in abnehmender Größe, um die Größe eines Atoms zu demonstrieren, die der tatsächlichen Größe eines Kohlenstoffatoms (etwa 70 Billionstel Meter) bemerkenswert nahe kommt.
Bereits im 8. Jahrhundert v. Chr., lange vor Pythagoras, listete ein als „Sulba-Sutras“ bekannter Text mehrere einfache pythagoreische Tripel sowie eine Aussage des vereinfachten Satzes des Pythagoras für die Seiten eines Quadrats auf und für ein Rechteck (in der Tat scheint es ziemlich wahrscheinlich, dass Pythagoras seine grundlegende Geometrie aus den „Sulba Sutras“ gelernt hat). Die Sutras enthalten auch geometrische Lösungen linearer und quadratischer Gleichungen in einer einzigen Unbekannten und geben eine bemerkenswert genaue Zahl für die Quadratwurzel von 2 an.
Bereits im 3. oder 2. Jahrhundert v. Chr. erkannten Jain-Mathematiker fünf verschiedene Arten von Unendlichkeiten: unendlich in einer Richtung, in zwei Richtungen, in der Fläche, unendlich überall und immer unendlich. Die alte buddhistische Literatur zeigt auch ein vorausschauendes Bewusstsein für unbestimmte und unendliche Zahlen, wobei es drei Arten von Zahlen gibt: zählbar, nicht zählbar und unendlich.
Wie die Chinesen entdeckten auch die Inder früh die Vorteile eines dezimalen Stellenwert-Zahlensystems und benutzten es sicherlich schon vor dem 3. Jahrhundert n. Chr. Sie verfeinerten und perfektionierten das System, insbesondere die schriftliche Darstellung der Ziffern, und schufen die Vorfahren der neun Ziffern, die wir heute (dank ihrer Verbreitung durch mittelalterliche arabische Mathematiker) auf der ganzen Welt verwenden und manchmal als eine der größten intellektuellen Innovationen der Zeit überhaupt angesehen werden.
Die Inder waren auch für eine weitere enorm wichtige Entwicklung in der Mathematik verantwortlich. Die früheste aufgezeichnete Verwendung eines Kreiszeichens für die Zahl Null wird normalerweise einem Stich aus dem 9. Jahrhundert in einem Tempel in Gwalior in Zentralindien zugeschrieben. Aber der brillante konzeptionelle Sprung, die Null als eigenständige Zahl einzubeziehen (und nicht nur als Platzhalter, als Leerstelle innerhalb einer Zahl, wie es bis dahin behandelt wurde), wird normalerweise dem indischen Mathematiker des 7. Jahrhunderts zugeschrieben, Brahmagupta – oder möglicherweise einem anderen Inder, Bhaskara – auch wenn es schon Jahrhunderte zuvor im praktischen Gebrauch gewesen sein mag. Die Verwendung von Null als Zahl, die in Berechnungen und mathematischen Untersuchungen verwendet werden könnte, würde die Mathematik revolutionieren.
Brahmagupta stellte die grundlegenden mathematischen Regeln für den Umgang mit Null auf: 1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; und 1 x 0 = 0 (der Durchbruch, der der scheinbar unsinnigen Operation 1 ÷ 0 einen Sinn geben würde, würde auch einem Inder zufallen, dem Mathematiker Bhaskara aus dem 12. Jahrhundert). Brahmagupta stellte auch Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen auf und wies darauf hin, dass quadratische Gleichungen theoretisch zwei mögliche Lösungen haben könnten, von denen eine negativ sein könnte. Er versuchte sogar, diese ziemlich abstrakten Konzepte aufzuschreiben, indem er die Anfangsbuchstaben der Namen von Farben verwendete, um Unbekannte in seinen Gleichungen darzustellen, eine der frühesten Andeutungen dessen, was wir heute als Algebra kennen.
Man kann sagen, dass sich das sogenannte Goldene Zeitalter der indischen Mathematik vom 5. bis zum 12. Jahrhundert erstreckte, und viele seiner mathematischen Entdeckungen gingen mehrere Jahrhunderte vor ähnlichen Entdeckungen im Westen zurück, was zu einigen Plagiatsansprüchen späterer europäischer Mathematiker geführt hat. Zumindest einige von ihnen waren sich wahrscheinlich der früheren indischen Arbeit bewusst. Sicherlich scheint es, dass indische Beiträge zur Mathematik bis vor kurzem in der modernen Geschichte nicht gebührend gewürdigt wurden.
Indische Mathematiker des Goldenen Zeitalters machten grundlegende Fortschritte in der Theorie der Trigonometrie, einer Methode zur Verknüpfung von Geometrie und Zahlen, die zuerst von den Griechen entwickelt wurde. Sie verwendeten Ideen wie die Sinus, Cosinus und Tangens Funktionen (die die Winkel eines Dreiecks mit den relativen Längen seiner Seiten in Beziehung setzen), um das Land um sie herum zu vermessen, die Meere zu navigieren und sogar den Himmel zu kartieren.
Zum Beispiel benutzten indische Astronomen die Trigonometrie, um die relativen Entfernungen zwischen der Erde und dem Mond und der Erde und der Sonne zu berechnen. Sie erkannten, dass Sonne, Mond und Erde ein rechtwinkliges Dreieck bilden, wenn der Mond halb voll ist und sich direkt gegenüber der Sonne befindet, und konnten den Winkel mit 1 ⁄ 7 ° genau messen. Ihre Sinustabellen ergaben ein Verhältnis für die Seiten eines solchen Dreiecks von 400:1, was darauf hinweist, dass die Sonne 400-mal weiter von der Erde entfernt ist als der Mond.
Obwohl die Griechen in der Lage waren, die Sinusfunktion einiger Winkel zu berechnen, wollten die indischen Astronomen in der Lage sein, die Sinusfunktion jedes beliebigen Winkels zu berechnen. Ein Text namens „Surya Siddhanta“ von unbekannten Autoren aus der Zeit um 400 n. Chr. enthält die Wurzeln der modernen Trigonometrie, einschließlich der ersten wirklichen Verwendung von Sinus, Cosinus, inversem Sinus, Tangens und Sekanten.
Bereits im 6. Jahrhundert n. Chr. erstellte der große indische Mathematiker und Astronom Aryabhata kategoriale Definitionen von Sinus, Cosinus, Versinus und umgekehrtem Sinus und spezifizierte vollständige Sinus- und Versinustabellen in 3,75°-Intervallen von 0° bis 90° mit einer Genauigkeit von 4 Nachkommastellen. Aryabhata demonstrierte auch Lösungen simultaner quadratischer Gleichungen und erstellte eine Annäherung für den Wert von π , der 3,1416 entspricht, korrekt auf vier Dezimalstellen. Er verwendete dies, um den Umfang der Erde zu schätzen, und kam auf eine Zahl von 24.835 Meilen, nur 70 Meilen von seinem wahren Wert entfernt. Aber vielleicht noch erstaunlicher scheint ihm bewusst gewesen zu sein, dass π eine irrationale Zahl ist und dass jede Berechnung immer nur eine Annäherung sein kann, was in Europa bis 1761 nicht bewiesen wurde.
Bhaskara, der im 12. Jahrhundert lebte, war einer der versiertesten aller großen Mathematiker Indiens. Ihm wird die Erklärung der zuvor missverstandenen Operation der Division durch Null zugeschrieben. Er bemerkte, dass das Teilen von eins in zwei Teile eine Hälfte ergibt, also 1 ÷ 1 ⁄ 2 = 2. Ähnlich ist 1 ÷ 1 ⁄ 3 = 3. Das Teilen von 1 durch kleinere und kleinere Fraktionen ergibt also eine immer größere Anzahl von Teilen. Letztendlich würde daher das Teilen von Eins in Teile der Größe Null unendlich viele Teile ergeben, was darauf hinweist, dass 1 ÷ 0 = ∞.
Bhaskara leistete jedoch auch wichtige Beiträge zu vielen verschiedenen Bereichen der Mathematik, von Lösungen quadratischer, kubischer und quartischer Gleichungen (einschließlich negativer und irrationaler Lösungen) über Lösungen diophantischer Gleichungen zweiter Ordnung bis hin zu vorläufigen Konzepten der Infinitesimalrechnung und mathematischen Analyse bis hin zur sphärischen Trigonometrie und anderen Aspekte der Trigonometrie. Einige seiner Erkenntnisse liegen mehrere Jahrhunderte vor ähnlichen Entdeckungen in Europa, und er leistete wichtige Beiträge zur Systematisierung damals aktuellen Wissens und verbesserter Methoden für bekannte Lösungen.
Die Kerala Schule der Astronomie und Mathematik wurde im späten 14. Jahrhundert von Madhava von Sangamagrama gegründet , der manchmal als der größte Mathematiker-Astronom des mittelalterlichen Indien bezeichnet wird. Er entwickelte Annäherungen für unendliche Reihen für eine Reihe von trigonometrischen Funktionen, einschließlich π , Sinus usw. Einige seiner Beiträge zur Geometrie und Algebra und seine frühen Formen der Differenzierung und Integration für einfache Funktionen wurden möglicherweise durch Jesuitenmissionare nach Europa übertragen. Es ist möglich, dass die spätere europäische Entwicklung der Analysis in gewissem Maße von seiner Arbeit beeinflusst wurde.
BRAHMAGUPTA: MATHEMATIKER UND ASTRONOM
Der große indische Mathematiker und Astronom Brahmagupta aus dem 7. Jahrhundert schrieb einige wichtige Werke über Mathematik und Astronomie. Er stammte aus dem Bundesstaat Rajasthan im Nordwesten Indiens (er wird oft als Bhillamalacarya, der Lehrer aus Bhillamala, bezeichnet) und wurde später Leiter des astronomischen Observatoriums in Ujjain in Zentralindien. Die meisten seiner Werke sind in elliptischen Versen verfasst, wie es damals in der indischen Mathematik üblich war, und haben daher einen poetischen Klang.
Es ist wahrscheinlich, dass Brahmaguptas Werke, insbesondere sein berühmtester Text, das „Brahmasphutasiddhanta“, vom abbasidischen Kalifen Al-Mansur aus dem 8. Jahrhundert in sein neu gegründetes Bildungszentrum in Bagdad am Ufer des Tigris gebracht wurden und eine wichtige Verbindung zwischen der Indischen Mathematik und Astronomie und dem aufkommende Aufschwung in Wissenschaft und Mathematik in der islamischen Welt herstellten.
In seiner Arbeit über Arithmetik erklärte Brahmagupta, wie man die Kubik und die Kubikwurzel einer ganzen Zahl findet, und gab Regeln an, die die Berechnung von Quadraten und Quadratwurzeln erleichtern. Er gab auch Regeln für den Umgang mit fünf Arten von Kombinationen von Brüchen an.
Brahmaguptas Genialität lag jedoch in seiner Behandlung des Konzepts der (damals relativ neuen) Zahl Null. Obwohl es oft auch dem indischen Mathematiker Bhaskara aus dem 7. Jahrhundert n. Chr. zugeschrieben wird.
Brahmagupta stellte die grundlegenden mathematischen Regeln für den Umgang mit Null auf (1 + 0 = 1; 1 – 0 = 1; und 1 x 0 = 0), obwohl sein Verständnis der Division durch Null unvollständig war (er dachte, dass 1 ÷ 0 = 0) . Fast 500 Jahre später, im 12. Jahrhundert, zeigte ein anderer indischer Mathematiker, Bhaskara, dass die Antwort unendlich sein sollte, nicht Null (mit der Begründung, dass 1 in unendlich viele Stücke der Größe Null geteilt werden kann), eine Antwort, die jahrhundertelang als richtig galt. Diese Logik erklärt jedoch nicht, warum 2 ÷ 0, 7 ÷ 0 usw. auch Null sein sollten – die moderne Ansicht ist, dass eine durch Null geteilte Zahl tatsächlich „undefiniert“ ist (d.h. keinen Sinn ergibt).
Brahmaguptas Ansicht von Zahlen als abstrakte Einheiten, anstatt nur zum Zählen und Messen, ermöglichte ihm einen weiteren großen konzeptionellen Sprung, der tiefgreifende Konsequenzen für die zukünftige Mathematik haben würde. Früher galt beispielsweise die Summe 3 – 4 entweder als bedeutungslos oder bestenfalls als Null. Brahmagupta erkannte jedoch, dass es so etwas wie eine negative Zahl geben könnte, die er im Gegensatz zum „Eigentum“ als „Schulden“ bezeichnete. Er erklärte die Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen (z. B. ein negatives mal ein negatives ist ein positives, ein negatives mal ein positives ist ein negatives usw.).
Außerdem wies er darauf hin, dass quadratische Gleichungen theoretisch zwei mögliche Lösungen haben könnten, von denen eine negativ sein könnte. Zusätzlich zu seiner Arbeit an Lösungen für allgemeine lineare Gleichungen und quadratische Gleichungen ging Brahmagupta noch weiter, indem er Systeme simultaner Gleichungen (Gleichungssätze mit mehreren Variablen) betrachtete und quadratische Gleichungen mit zwei Unbekannten löste, was im Westen nicht einmal in Betracht gezogen wurde bis tausend Jahre später, als Fermat 1657 über ähnliche Probleme nachdachte.
Brahmagupta versuchte sogar, diese ziemlich abstrakten Konzepte niederzuschreiben, indem er die Anfangsbuchstaben der Namen von Farben verwendete, um Unbekannte in seinen Gleichungen darzustellen, eine der frühesten Andeutungen dessen, was wir heute als Algebra kennen.
Brahmagupta widmete einen wesentlichen Teil seiner Arbeit der Geometrie und Trigonometrie. Er etablierte √10 (3,162277) als gute praktische Näherung für π (3,141593) und gab eine Formel, die heute als Brahmagupta-Formel bekannt ist, für die Fläche eines zyklischen Vierecks, sowie einen berühmten Satz über die Diagonalen eines zyklischen Vierecks an, üblicherweise als Satz von Brahmagupta bezeichnet.
MADHAVA: DER GRÜNDER DER KERALA-SCHULE
Madhava wird manchmal als der größte Mathematiker-Astronom des mittelalterlichen Indien bezeichnet. Er stammte aus der Stadt Sangamagrama in Kerala nahe der Südspitze Indiens und gründete Ende des 14. Jahrhunderts die Kerala Schule der Astronomie und Mathematik.
Obwohl fast die gesamte ursprüngliche Arbeit von Madhava verloren gegangen ist, wird er in der Arbeit späterer Mathematiker aus Kerala als Quelle für mehrere Erweiterungen unendlicher Reihen bezeichnet (einschließlich der Sinus, Cosinus, Tangens und Arkustangens Funktionen und des Werts von π), die die ersten Schritte von den traditionellen endlichen Prozessen der Algebra zu Betrachtungen des Unendlichen darstellen, mit ihren Implikationen für die zukünftige Entwicklung der Infinitesimalrechnung und der mathematischen Analysis.
Im Gegensatz zu den meisten früheren Kulturen, die beim Konzept der Unendlichkeit ziemlich nervös waren, war Madhava mehr als glücklich, mit Unendlichkeit herumzuspielen, insbesondere mit unendlichen Reihen. Er zeigte, wie, obwohl eins angenähert werden kann, indem man eine Hälfte plus ein Viertel plus ein Achtel plus ein Sechzehntel usw. addiert (wie sogar die alten Ägypter und Griechen wussten), die genaue Summe von eins nur durch unendliches Addieren vieler Brüche erreicht werden kann.
Aber Madhava ging noch weiter und verband die Idee einer unendlichen Reihe mit Geometrie und Trigonometrie. Er erkannte, dass er durch sukzessives Addieren und Subtrahieren verschiedener ungeradzahliger Brüche bis unendlich eine exakte Formel für π finden konnte (das war zwei Jahrhunderte, bevor Leibniz in Europa zu dem gleichen Schluss kam). Durch seine Anwendung dieser Reihe erhielt Madhava einen Wert für π , der auf erstaunliche 13 Dezimalstellen genau war.
Er fuhr fort, dieselbe Mathematik zu verwenden, um unendliche Reihenausdrücke für die Sinusformel zu erhalten, die dann verwendet werden konnten, um den Sinus jedes Winkels mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen, sowie für andere trigonometrische Funktionen wie Kosinus, Tangens und Arkustangens. Vielleicht noch bemerkenswerter ist jedoch, dass er auch Schätzungen des Fehlerterms oder des Korrekturterms angab, was impliziert, dass er die Grenznatur der unendlichen Reihen durchaus verstand.
Madhavas Verwendung unendlicher Reihen zur Annäherung an eine Reihe trigonometrischer Funktionen, die von seinen Nachfolgern an der Kerala-Schule weiterentwickelt wurden, legte effektiv den Grundstein für die spätere Entwicklung von Kalkül und Analyse, und entweder er oder seine Schüler entwickelten eine frühe Form der Integration für einfache Funktionen. Einige Historiker haben vorgeschlagen, dass Madhavas Werk durch die Schriften der Kerala-Schule möglicherweise über jesuitische Missionare und Händler nach Europa übermittelt wurde, die zu dieser Zeit rund um den alten Hafen von Cochin (Kochi) aktiv waren, und möglicherweise einen Einfluss hatte auf spätere europäische Entwicklungen in der Infinitesimalrechnung.
Unter seinen anderen Beiträgen entdeckte Madhava die Lösungen einiger transzendentaler Gleichungen durch einen Iterationsprozess und fand Annäherungen für einige transzendente Zahlen durch fortgesetzte Brüche. In der Astronomie entdeckte er ein Verfahren, um alle 36 Minuten die Positionen des Mondes zu bestimmen, und Methoden, um die Bewegungen der Planeten abzuschätzen.
PERSISCHE MATHEMATIK
Das islamische Reich, das ab dem 8. Jahrhundert in Persien, dem Nahen Osten, Zentralasien, Nordafrika, Iberien und Teilen Indiens errichtet wurde, leistete bedeutende Beiträge zur Mathematik. Sie konnten auf die mathematischen Entwicklungen Griechenlands und Indiens zurückgreifen und diese miteinander verschmelzen.
Eine Folge des islamischen Verbots, die menschliche Form darzustellen, war die umfangreiche Verwendung komplexer geometrischer Muster zur Dekoration ihrer Gebäude, wodurch die Mathematik zu einer Kunstform erhoben wurde. Tatsächlich entdeckten muslimische Künstler im Laufe der Zeit all die verschiedenen Formen der Symmetrie, die auf einer zweidimensionalen Oberfläche dargestellt werden können.
Der Koran selbst förderte die Anhäufung von Wissen, und ein goldenes Zeitalter der islamischen Wissenschaft und Mathematik erlebte während des gesamten Mittelalters vom 9. bis 15. Jahrhundert eine Blütezeit. Das Haus der Weisheit wurde um 810 in Bagdad gegründet, und die Arbeit begann fast sofort mit der Übersetzung der wichtigsten griechischen und indischen mathematischen und astronomischen Werke ins Arabische.
Der herausragende persische Mathematiker Muhammad Al-Khwarizmi war ein früher Direktor des Hauses der Weisheit im 9. Jahrhundert und einer der größten frühen muslimischen Mathematiker. Der vielleicht wichtigste Beitrag von Al-Khwarizmi zur Mathematik war sein starkes Eintreten für das hinduistische Zahlensystem (1 – 9 und 0), dem er die Kraft und Effizienz zuschrieb, die zur Revolutionierung der islamischen (und später der westlichen) Mathematik erforderlich waren und die bald von der gesamten islamischen Welt und später auch von Europa angenommen wurde.
Al-Khwarizmis anderer wichtiger Beitrag war die Algebra, und er stellte die grundlegenden algebraischen Methoden der „Reduktion“ und des „Ausgleichs“ vor und lieferte eine erschöpfende Darstellung der Lösung von Polynomgleichungen bis zum zweiten Grad. Auf diese Weise trug er dazu bei, die mächtige abstrakte mathematische Sprache zu schaffen, die noch heute auf der ganzen Welt verwendet wird, und ermöglichte eine viel allgemeinere Methode zur Analyse von Problemen als nur die spezifischen Probleme, die zuvor von den Indern und Chinesen betrachtet wurden .
Der persische Mathematiker Muhammad Al-Karaji aus dem 10. Jahrhundert arbeitete daran, die Algebra noch weiter auszubauen, indem er sie von ihrem geometrischen Erbe befreite, und führte die Theorie der algebraischen Analysis ein. Al-Karaji war der erste, der die Beweismethode durch mathematische Induktion verwendete, um seine Ergebnisse zu beweisen, indem er bewies, dass die erste Aussage in einer unendlichen Folge von Aussagen wahr ist, und dann bewies, dass, wenn eine Aussage in der Folge wahr ist, dann auch die nächste.
Unter anderem verwendete Al-Karaji die mathematische Induktion, um den Binomialsatz zu beweisen. Ein Binom ist eine einfache Art von algebraischem Ausdruck, der nur zwei Terme hat, die nur durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und positive ganzzahlige Exponenten bearbeitet werden. Die Koeffizienten, die benötigt werden, wenn ein Binomial erweitert wird, bilden ein symmetrisches Dreieck, das nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal aus dem 17. Jahrhundert benannt wird.
Etwa hundert Jahre nach Al-Karaji verallgemeinerte Omar Khayyam (vielleicht besser bekannt als Dichter und Verfasser des „Rubaiyat“, aber selbst ein bedeutender Mathematiker und Astronom) die indische Sprache durch Methoden zum Ziehen von Quadrat- und Kubikwurzeln, um vierte, fünfte und höhere Wurzeln einzuschließen, das war im frühen 12. Jahrhundert. Er führte eine systematische Analyse kubischer Probleme durch und enthüllte, dass es tatsächlich mehrere verschiedene Arten von kubischen Gleichungen gab. Obwohl es ihm tatsächlich gelang, kubische Gleichungen zu lösen, und obwohl ihm normalerweise zugeschrieben wird, die Grundlagen der algebraischen Geometrie identifiziert zu haben, wurde er von weiteren Fortschritten abgehalten, weil er nicht in der Lage war, die Algebra von der Geometrie zu trennen, und eine rein algebraische Methode für die Lösung kubischer Gleichungen musste weitere 500 Jahre warten auf die italienischen Mathematiker del Ferro und Tartaglia.
Der persische Astronom, Wissenschaftler und Mathematiker Nasir Al-Din Al-Tusi aus dem 13. Jahrhundert war vielleicht der erste, der die Trigonometrie als eine von der Astronomie getrennte mathematische Disziplin behandelte. Aufbauend auf früheren Arbeiten griechischer Mathematiker wie Menelaos von Alexandria und indischen Arbeiten zur Sinusfunktion gab er die erste umfassende Darstellung der sphärischen Trigonometrie, einschließlich der Auflistung der sechs unterschiedlichen Fälle eines rechtwinkligen Dreiecks in der sphärischen Trigonometrie. Einer seiner wichtigsten mathematischen Beiträge war die Formulierung des berühmten Sinussatzes für ebene Dreiecke, obwohl das Sinusgesetz für sphärische Dreiecke schon früher von den Persern Abul Wafa Buzjani und Abu Nasr Mansur im 10. Jahrhundert entdeckt worden war.
Mit dem erstickenden Einfluss des türkischen Osmanischen Reiches ab dem 14. oder 15. Jahrhundert stagnierte die islamische Mathematik und weitere Entwicklungen verlagerten sich nach Europa.
MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI
Einer der ersten Direktoren des Hauses der Weisheit in Bagdad im frühen 9. Jahrhundert war ein herausragender persischer Mathematiker namens Muhammad Al-Khwarizmi. Er beaufsichtigte die Übersetzung der wichtigsten griechischen und indischen mathematischen und astronomischen Werke (einschließlich derer von Brahmagupta) ins Arabische und produzierte Originalwerke, die einen dauerhaften Einfluss auf den Vormarsch der Muslime hatten und (nachdem seine Werke durch lateinische Übersetzungen in Europa verbreitet wurden im 12. Jahrhundert) auf die spätere europäische Mathematik.
Das Wort „Algorithmus“ leitet sich von der Lateinisierung seines Namens ab, und das Wort „Algebra“ leitet sich von der Lateinisierung von „al-jabr“ ab, einem Teil des Titels seines berühmtesten Buches, in dem er die grundlegenden algebraischen Methoden vorstellte und Techniken zum Lösen von Gleichungen.
Sein vielleicht wichtigster Beitrag zur Mathematik war sein starkes Eintreten für das indische Zahlensystem, das Al-Khwarizmi als stark und effizient anerkannte, um die islamische und westliche Mathematik zu revolutionieren. Die indischen Ziffern 1 – 9 und 0 – die inzwischen als arabische Ziffern bekannt geworden waren – wurden bald von der gesamten islamischen Welt übernommen. Später, mit Übersetzungen von Al-Khwarizmis Werk ins Lateinische durch Adelard von Bath und andere im 12. Jahrhundert und unter dem Einfluss von Fibonaccis „Liber Abaci“, wurden sie auch in ganz Europa übernommen.
Al-Khwarizmis anderer wichtiger Beitrag war Algebra, ein Wort, das vom Titel eines mathematischen Textes abgeleitet ist, den er um 830 veröffentlichte, mit dem Titel „Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa'l-muqabala“ („Das umfassende Buch über Berechnung durch Fertigstellung und Ausgleich“). Al-Khwarizmi wollte von den spezifischen Problemen der Inder und Chinesen zu einer allgemeineren Art der Problemanalyse übergehen und schuf damit eine abstrakte mathematische Sprache, die heute weltweit verwendet wird.
Sein Buch gilt als grundlegendes Werk der modernen Algebra, obwohl er nicht die heute übliche algebraische Notation verwendete (er verwendete Wörter, um das Problem zu erklären, und Diagramme, um es zu lösen). Aber das Buch lieferte einen erschöpfenden Bericht über das Lösen von Polynomgleichungen bis zum zweiten Grad und führte zum ersten Mal die grundlegenden algebraischen Methoden der „Reduktion“ (Umschreiben eines Ausdrucks in eine einfachere Form), „Vervollständigung“ (Verschieben einer negativen Größe von einer Seite der Gleichung auf die andere Seite und ihr Vorzeichen ändernd) und „Ausgleichen“ (Subtraktion derselben Größe von beiden Seiten einer Gleichung und Streichung gleicher Terme auf gegenüberliegenden Seiten).
Insbesondere entwickelte Al-Khwarizmi eine Formel zum systematischen Lösen quadratischer Gleichungen, indem er die Methoden der Vervollständigung und des Ausgleichs verwendete, um jede Gleichung auf eine von sechs Standardformen zu reduzieren, die waren dann lösbar. Er beschrieb die Standardformen in Bezug auf „Quadrate“, „Wurzeln“ und „Zahlen“, und identifizierte die Sechs Typen als: Quadrate gleicher Wurzeln, Quadrate gleicher Zahl, Wurzeln gleicher Zahl, Quadrate und Wurzeln gleicher Zahl, Quadrate und Zahlen gleicher Wurzeln, und Wurzeln und Zahlen gleicher Quadrate.
Al-Khwarizmi wird normalerweise die Entwicklung der Gitter- (oder Sieb-) Multiplikationsmethode zum Multiplizieren großer Zahlen zugeschrieben, eine Methode, die algorithmisch der langen Multiplikation entspricht. Seine Gittermethode wurde später von Fibonacci in Europa eingeführt.
Neben seiner Arbeit in der Mathematik leistete Al-Khwarizmi wichtige Beiträge zur Astronomie, die ebenfalls weitgehend auf Methoden aus Indien basierten, und er entwickelte den ersten Quadranten (ein Instrument zur Bestimmung der Zeit durch Beobachtungen der Sonne oder der Sterne), den zweithäufigsten weit verbreitetes astronomisches Instrument im Mittelalter nach dem Astrolabium. Er produzierte auch eine überarbeitete und vervollständigte Version von Ptolemaios „Geographie“, bestehend aus einer Liste von 2.402 Koordinaten von Städten in der ganzen bekannten Welt.
MITTELALTERLICHE EUROPÄISCHE MATHEMATIK
Während der Jahrhunderte, in denen die chinesischen, indischen und islamischen Mathematiker auf dem Vormarsch waren, war Europa in ein finsteres Zeitalter gestürzt, in dem Wissenschaft, Mathematik und fast alle intellektuellen Bestrebungen stagnierten.
Scholastische Gelehrte schätzten nur geisteswissenschaftliche Studien wie Philosophie und Literatur und verbrachten einen Großteil ihrer Energie damit, sich über subtile Themen in Metaphysik und Theologie zu streiten.
Vom 4. bis zum 12. Jahrhundert beschränkte sich das europäische Wissen und Studium der Arithmetik, Geometrie, Astronomie und Musik hauptsächlich auf Boethius' Übersetzungen einiger Werke antiker griechischer Meister wie Nikomachos und Euklid. Der gesamte Handel und alle Berechnungen wurden mit dem ungeschickten und ineffizienten römischen Zahlensystem und mit einem Abakus nach griechischen und römischen Modellen durchgeführt.
Im 12. Jahrhundert jedoch begann Europa und insbesondere Italien mit dem Osten Handel zu treiben, und das östliche Wissen begann sich allmählich im Westen auszubreiten. Robert von Chester übersetzte Al-Khwarizmis wichtiges Buch über Algebra im 12. Jahrhundert ins Lateinische, und der vollständige Text von Euklids „Elementen“ wurde in verschiedenen Versionen von Adelard von Bath, Hermann von Carinthia und Gerard von Cremona übersetzt. Die große Expansion des Handels und des Gewerbes im Allgemeinen führte zu einem wachsenden praktischen Bedarf an Mathematik, und die Arithmetik trat viel mehr in das Leben der einfachen Leute ein und war nicht länger auf den akademischen Bereich beschränkt.
Auch das Aufkommen des Buchdrucks Mitte des 15. Jahrhunderts hatte große Auswirkungen. Zahlreiche Bücher über Arithmetik wurden veröffentlicht, um Geschäftsleuten Rechenmethoden für ihre kommerziellen Bedürfnisse beizubringen, und die Mathematik begann allmählich, eine wichtigere Stellung in der Bildung einzunehmen.
Europas erster großer mittelalterlicher Mathematiker war der Italiener Leonardo von Pisa, besser bekannt unter seinem Spitznamen Fibonacci. Obwohl er am ehesten für die sogenannte Fibonacci-Zahlenfolge bekannt ist, war sein vielleicht wichtigster Beitrag zur europäischen Mathematik seine Rolle bei der Verbreitung des Gebrauchs des hindu-arabischen Zahlensystems in ganz Europa Anfang des 13. Jahrhunderts, das bald das römische Zahlensystem obsolet machte, und öffnete so den Weg für große Fortschritte in der europäischen Mathematik.
Eine bedeutende (aber weitgehend unbekannte und unterschätzte) Mathematikerin und Gelehrte des 14. Jahrhunderts war die Französin Nicole Oresme. Sie verwendete ein System rechtwinkliger Koordinaten, Jahrhunderte bevor ihr Landsmann René Descartes die Idee populär machte, sowie vielleicht das erste Zeit-Geschwindigkeits-Weg-Diagramm. Ausgehend von ihrer Forschung in der Musikwissenschaft war sie die erste, die gebrochene Exponenten verwendete, und arbeitete auch an unendlichen Reihen.
Der deutsche Gelehrte Regiomontatus war vielleicht der fähigste Mathematiker des 15. Jahrhunderts, wobei sein Hauptbeitrag zur Mathematik auf dem Gebiet der Trigonometrie lag. Er trug dazu bei, die Trigonometrie von der Astronomie zu trennen, und vor allem durch seine Bemühungen wurde die Trigonometrie als eigenständiger Zweig der Mathematik angesehen. Sein Buch „De Triangulis“, in dem er einen Großteil des trigonometrischen Grundwissens beschrieb, das heute an Gymnasien und Hochschulen gelehrt wird, war das erste große Buch über Trigonometrie, das gedruckt erschien.
Erwähnt werden sollte auch Nikolaus von Kues (oder Nicolaus Cusanus), ein deutscher Philosoph, Mathematiker und Astronom des 15. Jahrhunderts, dessen vorausschauende Ideen über das Unendliche und das Infinitesimal spätere Mathematiker wie Gottfried Leibniz und Georg Cantor direkt beeinflussten. Er hatte auch einige deutlich ungewöhnliche intuitive Vorstellungen über das Universum und die Position der Erde darin sowie über die elliptischen Umlaufbahnen der Planeten und die relative Bewegung, die die späteren Entdeckungen von Kopernikus und Kepler vorwegnahmen.
LEONARDO FIBONACCI
Der Italiener Leonardo aus Pisa aus dem 13. Jahrhundert, besser bekannt unter seinem Spitznamen Fibonacci, war vielleicht der talentierteste westliche Mathematiker des Mittelalters. Über sein Leben ist wenig bekannt, außer dass er der Sohn eines Zollbeamten war und als Kind mit seinem Vater durch Nordafrika reiste, wo er etwas über arabische Mathematik lernte. Nach seiner Rückkehr nach Italien trug er dazu bei, dieses Wissen in ganz Europa zu verbreiten, und setzte damit eine Wiederbelebung der europäischen Mathematik in Gang, die während des Mittelalters jahrhundertelang weitgehend in Vergessenheit geraten war.
Insbesondere schrieb er 1202 ein äußerst einflussreiches Buch mit dem Titel „Liber Abaci“ („Buch der Berechnung“), in dem er die Verwendung des hindu-arabischen Zahlensystems förderte und seine vielen Vorteile für Kaufleute und Mathematiker über das ungeschicktes System römischer Ziffern, das damals in Europa verwendet wurde, beschrieb. Trotz seiner offensichtlichen Vorteile war die Aufnahme des Systems in Europa langsam, und arabische Ziffern wurden in der Stadt Florenz 1299 sogar verboten unter dem Vorwand, sie seien leichter zu fälschen als römische Ziffern. Letztendlich setzte sich jedoch der gesunde Menschenverstand durch, und das neue System wurde im 15. Jahrhundert in ganz Europa übernommen, wodurch das römische System veraltet war. Die horizontale Balkennotation für Brüche wurde auch erstmals in dieser Arbeit verwendet (obwohl sie der arabischen Praxis folgt, den Bruch links von der ganzen Zahl zu platzieren).
Fibonacci ist jedoch am bekanntesten für seine Einführung einer bestimmten Zahlenfolge in Europa, die seitdem als Fibonacci-Zahlen oder Fibonacci-Folge bekannt geworden ist. Er entdeckte die Folge – die erste in Europa bekannte rekursive Zahlenfolge – während er über ein praktisches Problem im „Liber Abaci“ nachdachte, bei dem es um das Wachstum einer hypothetischen Population von Kaninchen ging, die auf idealisierten Annahmen beruhte. Er stellte fest, dass nach jeder monatlichen Generation die Anzahl der Kaninchenpaare von 1 auf 2 auf 3 auf 5 auf 8 auf 13 usw. anstieg, eine Sequenz, die sich theoretisch unendlich erstrecken könnte.
Die Folge, die den indischen Mathematikern eigentlich seit dem 6. Jahrhundert bekannt war, hat viele interessante mathematische Eigenschaften, und viele der Implikationen und Beziehungen der Folge wurden erst mehrere Jahrhunderte nach Fibonaccis Tod entdeckt. Es wurde auch festgestellt, dass die Zahlen der Sequenz in der Natur allgegenwärtig sind: Unter anderem haben viele Arten von Blütenpflanzen eine Anzahl von Blütenblättern in der Fibonacci-Folge; die spiralförmigen Anordnungen von Ananas treten in 5er und 8er, die von Tannenzapfen in 8er und 13er und die Samen von Sonnenblumenköpfen in 21er, 34er, 55er oder noch höheren Termen in der Sequenz auf.
In den 1750er Jahren stellte Robert Simson fest, dass sich das Verhältnis jedes Glieds in der Fibonacci-Folge zum vorherigen Glied mit immer größerer Genauigkeit darstellt, je höher die Glieder sind, einem Verhältnis von ungefähr 1: 1,6180339887 annähert. Dieser Wert wird als Goldener Schnitt bezeichnet, auch als Göttliche Proportion bekannt, und wird normalerweise mit dem griechischen Buchstaben Phi φ (oder manchmal dem Großbuchstaben Phi Φ) bezeichnet. Grundsätzlich liegen zwei Mengen im Goldenen Schnitt, wenn das Verhältnis der Summe der Mengen zur größeren Menge gleich dem Verhältnis der größeren Menge zur kleineren ist. Es gibt unzählige Beispiele dafür, die sowohl in der Natur als auch in der menschlichen Welt zu finden sind.
Ein Rechteck mit Seiten im Verhältnis 1 : φ ist als Goldenes Rechteck bekannt und wurde von vielen Künstlern und Architekten im Laufe der Geschichte (aus dem alten Ägypten und Griechenland, aber besonders beliebt in der Renaissance-Kunst von Leonardo da Vinci und seinen Zeitgenossen) verwendet, sie haben ihre Werke ungefähr nach dem Goldenen Schnitt und den Goldenen Rechtecken proportioniert, die allgemein als von Natur aus ästhetisch ansprechend angesehen werden. Ein Bogen, der gegenüberliegende Punkte immer kleinerer verschachtelter Goldener Rechtecke verbindet, bildet eine logarithmische Spirale, die als Goldene Spirale bekannt ist. Der Goldene Schnitt und die Goldene Spirale sind auch in überraschend vielen Fällen in der Natur zu finden, von Muscheln über Blumen und Tierhörner bis hin zu menschlichen Körpern, Sturmsystemen und kompletten Galaxien.
Es sei jedoch daran erinnert, dass die Fibonacci-Folge eigentlich nur ein sehr untergeordnetes Element in „Liber Abaci“ war – tatsächlich erhielt die Folge erst 1877 den Namen Fibonacci, als Eduouard Lucas beschloss, ihm Tribut zu zollen, indem er die Reihe nach ihm benannte – und dass Fibonacci selbst nicht dafür verantwortlich war, irgendeine der interessanten mathematischen Eigenschaften der Sequenz zu identifizieren, ihre Beziehung zum Goldenen Schnitt und den Goldenen Rechtecken und Spiralen usw.
Der Einfluss des Buches auf die mittelalterliche Mathematik ist jedoch unbestreitbar, und es enthält auch Diskussionen über eine Reihe anderer mathematischer Probleme wie den chinesischen Restsatz, vollkommene Zahlen und Primzahlen, Formeln für arithmetische Reihen und für quadratische Pyramidenzahlen, euklidische geometrische Beweise, und eine Untersuchung simultaner linearer Gleichungen nach dem Vorbild von Diophantus und Al-Karaji. Er beschrieb auch die Gitter- (oder Sieb-) Multiplikationsmethode zur Multiplikation großer Zahlen, eine Methode, die ursprünglich von islamischen Mathematikern wie Al-Khwarizmi entwickelt wurde und algorithmisch der langen Multiplikation entspricht.
Das „Liber Abaci“ war auch nicht Fibonaccis einziges Buch, obwohl es sein wichtigstes war. Sein „Liber Quadratorum“ („Das Buch der Quadrate“) zum Beispiel ist ein Buch über Algebra, das 1225 veröffentlicht wurde und in dem eine Aussage darüber erscheint, was heute als Fibonaccis Identität bezeichnet wird – manchmal auch als Brahmaguptas Identität bekannt nach dem früheren indischen Mathematiker, der ebenfalls zu denselben Schlussfolgerungen kam – dass das Produkt zweier Summen zweier Quadrate selbst eine Summe zweier Quadrate ist.
MATHEMATIK DER RENAISSANCE
Die kulturelle, intellektuelle und künstlerische Bewegung der Renaissance, die ein Wiederaufleben des Lernens auf der Grundlage klassischer Quellen erlebte, begann um das 14. Jahrhundert in Italien und breitete sich in den nächsten zwei Jahrhunderten allmählich über den größten Teil Europas aus. Wissenschaft und Kunst waren zu dieser Zeit noch sehr stark miteinander verbunden und vermischt, wie die Arbeit von Künstlern/Wissenschaftlern wie Leonardo da Vinci zeigt, und es ist keine Überraschung, dass, ebenso wie in der Kunst, revolutionäre Arbeiten in den Bereichen Philosophie und Wissenschaft bald stattfanden.
Es ist eine Hommage an den Respekt, den die Mathematik im Europa der Renaissance hatte, dass der berühmte deutsche Künstler Albrecht Dürer ein magisches Quadrat der Ordnung 4 in seinen Stich „Melencolia I“ aufgenommen hat. Tatsächlich ist es ein sogenanntes „supermagisches Quadrat“ mit viel mehr Additionssymmetrielinien als ein normales magisches 4 x 4-Quadrat. Das Jahr der Arbeit, 1514, wird in den beiden unteren zentralen Quadraten angezeigt.
Eine wichtige Persönlichkeit im späten 15. und frühen 16. Jahrhundert ist ein italienischer Franziskanermönch namens Luca Pacioli, der Ende des 15. Jahrhunderts ein Buch über Arithmetik, Geometrie und Buchhaltung veröffentlichte, das wegen der darin enthaltenen mathematischen Rätsel sehr populär wurde. Es führte auch zum ersten Mal in einem gedruckten Buch Symbole für Plus und Minus ein (obwohl dies manchmal auch Giel Vander Hoecke, Johannes Widmann und anderen zugeschrieben wird), Symbole, die zur Standardnotation werden sollten. Pacioli untersuchte in seinem Buch „Die Göttliche Proportion“ von 1509 auch den Goldenen Schnitt von 1 : 1,618… und kam zu dem Schluss, dass die Zahl eine Botschaft Gottes und eine Quelle geheimen Wissens über die innere Schönheit der Dinge sei.
Während des 16. und frühen 17. Jahrhunderts wurden die Gleichheits-, Multiplikations-, Divisions-, Wurzel-, Dezimal- und Ungleichungssymbole nach und nach eingeführt und standardisiert. Die Verwendung von Dezimalbrüchen und Dezimalarithmetik wird normalerweise dem flämischen Mathematiker Simon Stevin im späten 16. Jahrhundert zugeschrieben, obwohl die Dezimalpunktnotation erst im frühen 17. Jahrhundert populär wurde. Stevin war seiner Zeit voraus, als er vorschrieb, dass alle Arten von Zahlen, ob Brüche, Negative, reelle Zahlen, gleich als eigenständige Zahlen behandelt werden sollten.
Im Renaissance-Italien des frühen 16. Jahrhunderts war insbesondere die Universität Bologna berühmt für ihre intensiven öffentlichen Mathematikwettbewerbe. In einem solchen Wettbewerb enthüllte die Figur des jungen Autodidakten Niccolò Fontana Tartaglia der Welt die Formel zur Lösung zuerst einer Art und später aller Arten von kubischen Gleichungen, eine Leistung, die bisher als unmöglich galt und die die besten Mathematiker Chinas, Indiens und der islamischen Welt verblüfft hatte.
Aufbauend auf der Arbeit von Tartaglia entwickelte bald ein anderer junger Italiener, Lodovico Ferrari, eine ähnliche Methode zur Lösung von Gleichungen mit quartischen Gleichungen, und beide Lösungen wurden von Gerolamo Cardano veröffentlicht. Trotz eines jahrzehntelangen Streits um die Veröffentlichung, demonstrierten Tartaglia, Cardano und Ferrari gemeinsam die ersten Verwendungen dessen, was heute als komplexe Zahlen bekannt ist, Kombinationen aus reellen und imaginären Zahlen (obwohl es von Rafael Bombelli, einem anderen Einwohner Bolognas, zu erklären war, was imaginäre Zahlen wirklich waren und wie sie verwendet werden könnten). Tartaglia produzierte weitere wichtige (wenn auch weitgehend ignorierte) Formeln und Methoden, und Cardano veröffentlichte vielleicht die erste systematische Behandlung der Wahrscheinlichkeit.
Mit hindu-arabischen Ziffern, standardisierter Notation und der neuen Sprache der Algebra war die Bühne für die europäische mathematische Revolution des 17. Jahrhunderts bereitet.
NICCOLÒ TARTAGLIA, GEROLAMO CARDANO & LODOVICO FERRARI
Im Renaissance-Italien des frühen 16. Jahrhunderts war insbesondere die Universität Bologna berühmt für ihre intensiven öffentlichen Mathematikwettbewerbe. Bei einem solchen Wettbewerb im Jahr 1535 enthüllte die Gestalt des jungen Venezianers Tartaglia erstmals eine mathematische Entdeckung, die bisher als unmöglich galt und die die besten Mathematiker Chinas, Indiens und der islamischen Welt verblüfft hatte.
Niccolò Fontana wurde bekannt als Tartaglia (was „der Stotterer“ bedeutet) wegen eines Sprachfehlers, den er aufgrund einer Verletzung erlitt, die er sich im Kampf gegen die einfallende französische Armee zugezogen hatte. Er war ein armer Ingenieur, der für den Entwurf von Befestigungen bekannt war, ein Topographievermesser (der in Schlachten nach den besten Mitteln zur Verteidigung oder zum Angriff suchte) und ein Buchhalter in der Republik Venedig.
Aber er war auch ein Autodidakt, aber äußerst ehrgeiziger Mathematiker. Er zeichnete sich unter anderem dadurch aus, dass er die ersten italienischen Übersetzungen von Werken von Archimedes und Euklid aus unverfälschten griechischen Texten erstellte (zwei Jahrhunderte lang wurden Euklids „Elemente“ anhand von zwei lateinischen Übersetzungen gelehrt, die einer arabischen Quelle entnommen waren, Teile von Fehlern enthielten, die sie so gut wie unbrauchbar machten), sowie eine gefeierte Zusammenstellung eigener Mathematik.
Tartaglias größtes Vermächtnis an die Geschichte der Mathematik trat jedoch auf, als er 1535 den Mathematikwettbewerb der Universität Bologna gewann, indem er eine allgemeine algebraische Formel zum Lösen kubischer Gleichungen demonstrierte, was zu dieser Zeit als eine Unmöglichkeit angesehen wurde, da sie ein Verständnis der Quadratwurzeln negativer Zahlen erfordert. Im Wettbewerb schlug er Scipione del Ferro (oder zumindest del Ferros Assistent Fior), der zufällig vor nicht allzu langer Zeit seine eigene Teillösung des Problems der kubischen Gleichung produziert hatte. Obwohl die Lösung von del Ferro möglicherweise älter war als die von Tartaglia, war sie viel begrenzter, und Tartaglia wird normalerweise die erste allgemeine Lösung zugeschrieben. In der hart umkämpften Umgebung des Italiens des 16. Jahrhunderts verschlüsselte Tartaglia seine Lösung sogar in Form eines Gedichts, um es anderen Mathematikern zu erschweren, sie zu stehlen.
Tartaglias endgültige Methode wurde jedoch Gerolamo Cardano zugespielt, einem ziemlich exzentrischen und konfrontativen Mathematiker, Arzt und Renaissance-Menschen, der zu Lebzeiten etwa 131 Bücher verfasst hat. Cardano veröffentlichte es selbst in seinem Buch „Ars Magna“ von 1545 (obwohl er Tartaglia versprochen hatte, dass er es nicht tun würde), zusammen mit der Arbeit seines eigenen brillanten Schülers Lodovico Ferrari. Als Ferrari die kubische Lösung von Tartaglia sah, war ihm klar geworden, dass er eine ähnliche Methode verwenden konnte, um quartische Gleichungen zu lösen.
In dieser Arbeit demonstrierten Tartaglia, Cardano und Ferrari gemeinsam die ersten Verwendungen dessen, was heute als komplexe Zahlen bekannt ist, Kombinationen aus reellen und imaginären Zahlen. Es fiel einem anderen Bologneser, Rafael Bombelli, zu, Ende der 1560er Jahre genau zu erklären, was imaginäre Zahlen wirklich waren und wie sie verwendet werden konnten.
Obwohl beide jüngeren Männer im Vorwort von Cardanos Buch sowie an mehreren Stellen in seinem Corpus gewürdigt wurden, verwickelte Tartgalia Cardano in einen jahrzehntelangen Kampf um die Veröffentlichung. Cardano argumentierte, dass er, als er zufällig (einige Jahre nach dem Wettbewerb von 1535) die unveröffentlichte unabhängige Lösung der kubischen Gleichung von Scipione del Ferro sah, die vor der von Tartaglia datiert war, entschied, dass sein Versprechen an Tartaglia gebrochen werden war, und er nahm Tartaglias Lösung auf in seine nächste Veröffentlichung, zusammen mit Ferraris quartischer Lösung.
Ferrari verstand kubische und quartische Gleichungen schließlich viel besser als Tartaglia. Als Ferrari Tartaglia zu einer weiteren öffentlichen Debatte herausforderte, akzeptierte Tartaglia zunächst, entschied sich dann aber dafür, nicht zu erscheinen, und Ferrari gewann standardmäßig. Tartaglia wurde gründlich diskreditiert und wurde praktisch arbeitsunfähig.
Der arme Tartaglia starb mittellos und unbekannt, obwohl er (zusätzlich zu seiner Lösung der kubischen Gleichung) die erste Übersetzung von Euklids „Elementen“ in eine moderne europäische Sprache erstellt, Tartaglia hatte die Formel für das Volumen eines Tetraeders formuliert und eine Methode entwickelt, um sie zu erhalten als Binomialkoeffizienten namens Tartaglias Dreieck (eine frühere Version von Pascals Dreieck) und wurde der erste, der Mathematik auf die Untersuchung der Bahnen von Kanonenkugeln anwendeten (eine Arbeit, die später durch Galileos Studien über fallende Körper bestätigt wurde). Noch heute ist die Lösung kubischer Gleichungen normalerweise als Cardanos Formel bekannt und nicht als Tartgalias Formel.
Ferrari hingegen erhielt bereits als Teenager eine prestigeträchtige Lehrstelle, nachdem Cardano gekündigt und ihn empfohlen hatte, und konnte sich schließlich jung und ziemlich reich zurückziehen, obwohl er als Cardanos Diener begonnen hatte.
Cardano selbst, ein versierter Schachspieler, schrieb im Alter von nur 25 Jahren ein Buch mit dem Titel „Liber de ludo aleae“ („Buch über Glücksspiele“), das vielleicht die erste systematische Behandlung von Wahrscheinlichkeiten war. Die alten Griechen, Römer und Inder waren allesamt eingefleischte Glücksspieler gewesen, aber keiner von ihnen hatte jemals versucht, den Zufall als von mathematischen Gesetzen beherrscht zu verstehen.
Das Buch beschrieb die – jetzt offensichtliche, aber damals revolutionäre – Einsicht, dass, wenn ein zufälliges Ereignis mehrere gleich wahrscheinliche Ergebnisse hat, die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses gleich dem Verhältnis dieses Ergebnisses zu allen möglichen Ergebnissen ist. Das Buch war seiner Zeit jedoch weit voraus und blieb bis 1663, fast ein Jahrhundert nach seinem Tod, unveröffentlicht. Es war die einzige ernsthafte Arbeit über Wahrscheinlichkeit bis zu Pascals Arbeit im 17. Jahrhundert.
Cardano war auch der erste, der Hypozykloiden beschrieb, die spitzen ebenen Kurven, die durch die Spur eines festen Punktes auf einem kleinen Kreis erzeugt wurden, der innerhalb eines größeren Kreises rollt, und die erzeugenden Kreise wurden später Cardano-Kreise genannt.
Der farbenfrohe Cardano blieb sein ganzes Leben lang notorisch knapp bei Kasse, hauptsächlich aufgrund seiner Spielgewohnheiten, und wurde 1570 der Ketzerei beschuldigt, nachdem er ein Horoskop veröffentlicht hatte unseres Herrn Jesus Christus, der gelobt sei in Ewigkeit.